(ESPM-2002) Sabe-se que duas das raízes do polinômio p(x)=x^{3}-8 x^{2}+x+42 são também raizes da equação \mathrm{x}+\frac{21}{\mathrm{x}}=10.
A soma das duas menores raízes de p(x) é:
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{3}-8x^{2}+x+42
e afirma que duas de suas raízes também satisfazem a equação
x+\frac{21}{x}=10.
Vamos primeiro resolver essa equação para achar as possíveis raízes comuns e depois usar o Teorema Fundamental da Álgebra e fatoração de polinômios para encontrar a terceira raiz de p(x).

Passo 2

Resolver
x+\frac{21}{x}=10
Multiplicando ambos os lados por x, obtemos
x^{2}+21=10x
x^{2}-10x+21=0.
Isso é uma equação do segundo grau.

Passo 3

Calcular o discriminante:
\Delta = (-10)^{2}-4\cdot1\cdot21 =100-84=16.
As raízes são
x = \frac{10\pm\sqrt{16}}{2} = \frac{10\pm4}{2},
isto é,
x_{1}=3,\quad x_{2}=7.

Passo 4

Verificamos que
p(3)=27-72+3+42=0
p(7)=343-392+7+42=0,
logo 3 e 7 são realmente duas raízes de p(x). Sendo assim, podemos escrever
p(x)=(x-3)(x-7)(x-a)
para algum a. Expandindo
(x-3)(x-7)=x^{2}-10x+21
e
(x^{2}-10x+21)(x-a)=x^{3}-(a+10)x^{2}+(10a+21)x-21a.
Comparando com x^{3}-8x^{2}+x+42, temos o sistema
-(a+10)=-8,\quad 10a+21=1,\quad -21a=42.
Da primeira equação a+10=8\implies a=-2. As outras também confirmam a=-2.

Passo 5

As três raízes de p(x) são -2, 3 e 7. As duas menores são -2 e 3. Portanto, sua soma é
-2 + 3 = 1.

Resposta

1 (alternativa D)

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