(OBM-2002) Sejam x, y, z números inteiros tais que x+y+z=0. Sobre x^{3}+y^{3}+z^{3} são feitas as seguintes afirmativas:
i) É necessariamente múltiplo de 2 .
ii) É necessariamente múltiplo de 3 .
iii) É necessariamente múltiplo de 5.
Podemos afirmar que:
A) somente i) é correta.
B) somente ii) é correta.
C) somente i) e ii) são corretas.
D) somente i) e iii) são corretas.
E) i), ii) e iii) são corretas.

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z são inteiros com
x + y + z = 0
e pede para verificar se
S = x^3 + y^3 + z^3
é sempre múltiplo de 2, de 3 e de 5. Vamos usar uma identidade algébrica e depois argumentos de divisibilidade por paridades e por 3.

Passo 2

Usamos a identidade clássica
x^3 + y^3 + z^3 \;-\; 3xyz \;=\;(x+y+z)\bigl(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz\bigr).
Como x+y+z=0, segue que
x^3 + y^3 + z^3 \;=\; 3\,x\,y\,z.

Passo 3

Para ver a divisibilidade por 2 e por 3:
  • x^3+y^3+z^3 = 3\,x\,y\,z já mostra que é múltiplo de 3.
  • Resta ver que x\,y\,z é sempre par. Como x+y+z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x+y+z\equiv 0\pmod{2},a soma de três números é par, o que obriga que ou nenhum seja ímpar (todos pares) ou exatamente dois sejam ímpares e um par. Em ambos os casos, o produto x\,y\,z contém um fator par, logo é par. Assim 3\,x\,y\,z é múltiplo de 2.
Portanto S é sempre múltiplo de 2 e de 3.

Passo 4

Para 5 não há obrigatoriedade. Um contraexemplo é
(x,y,z) = (1,2,-3),
que satisfaz 1+2-3=0, mas
x^3+y^3+z^3 = 1 + 8 + (-27) = -18,
e -18 não é múltiplo de 5.

Resposta

C) somente i) e ii) são corretas.

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