(OBM-2002) Sejam
números inteiros tais que
. Sobre
são feitas as seguintes afirmativas:
i) É necessariamente múltiplo de 2 .
ii) É necessariamente múltiplo de 3 .
iii) É necessariamente múltiplo de 5.
Podemos afirmar que:
A) somente i) é correta.
B) somente ii) é correta.
C) somente i) e ii) são corretas.
D) somente i) e iii) são corretas.
E) i), ii) e iii) são corretas.
i) É necessariamente múltiplo de 2 .
ii) É necessariamente múltiplo de 3 .
iii) É necessariamente múltiplo de 5.
A) somente i) é correta.
B) somente ii) é correta.
C) somente i) e ii) são corretas.
D) somente i) e iii) são corretas.
E) i), ii) e iii) são corretas.
Passo 1
O enunciado diz que
são inteiros com
e pede para verificar se
é sempre múltiplo de
, de
e de
. Vamos usar uma identidade algébrica e depois argumentos de divisibilidade por paridades e por
.
Passo 2
Usamos a identidade clássica
Como
, segue que
Passo 3
Para ver a divisibilidade por
e por
:
-
já mostra que é múltiplo de . - Resta ver que
é sempre par. Como a soma de três números é par, o que obriga que ou nenhum seja ímpar (todos pares) ou exatamente dois sejam ímpares e um par. Em ambos os casos, o produto contém um fator par, logo é par. Assim é múltiplo de .
Portanto
é sempre múltiplo de
e de
.
Passo 4
Para
não há obrigatoriedade. Um contraexemplo é
que satisfaz
, mas
e
não é múltiplo de
.
Resposta
C) somente i) e ii) são corretas.