(Colégio Naval-93) O resultado mais simples para a expressão \sqrt[4]{(\sqrt{48}+7)^{2}}+\sqrt[4]{(\sqrt{48}-7)^{2}}
(A) 2 \sqrt{3}
(D) 2 \sqrt{7}
(B) 4 \sqrt[4]{3}
(E) \sqrt{4 \sqrt{3}+7}+\sqrt{4 \sqrt{3}-7}
(C) 4

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[4]{\bigl(\sqrt{48}+7\bigr)^{2}} \;+\;\sqrt[4]{\bigl(\sqrt{48}-7\bigr)^{2}}.
O conteúdo envolve propriedades de radicais, em particular que
\sqrt[4]{x^{2}}=\sqrt{\bigl|x\bigr|}.

Passo 2

Aplicando \sqrt[4]{x^2}=\sqrt{|x|} aos dois termos, temos
\sqrt[4]{\bigl(\sqrt{48}+7\bigr)^{2}} =\sqrt{\bigl|\sqrt{48}+7\bigr|} \quad\text{e}\quad \sqrt[4]{\bigl(\sqrt{48}-7\bigr)^{2}} =\sqrt{\bigl|\sqrt{48}-7\bigr|}.
Como \sqrt{48}+7>0 e \sqrt{48}\approx6,93<7, resulta em
\sqrt{\sqrt{48}+7} \quad\text{e}\quad \sqrt{7-\sqrt{48}}.

Passo 3

Observe que \sqrt{48}=4\sqrt{3}. Então a soma vira
\sqrt{7+4\sqrt{3}} \;+\;\sqrt{7-4\sqrt{3}}.

Passo 4

Para simplificar \sqrt{7+4\sqrt{3}}, buscamos dois números a,b>0 tais que
a+b=7 \quad\text{e}\quad 2\sqrt{ab}=4\sqrt{3} \;\Longrightarrow\; ab=12.
As raízes da equação t^2-7t+12=0 são t=3 e t=4. Logo
\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+2)^{2}}=\sqrt{3}+2,
\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}.

Passo 5

Somando os dois resultados:
(\sqrt{3}+2)+(2-\sqrt{3})=4.

Resposta

4

Exercícios de Livros Relacionados