(CM Manaus-2010). Se k=\sqrt{3}+\sqrt{5}, então \sqrt{15} é igual a:
2) \frac{k^{2}-8}{2}
b) \frac{k^{2}}{2}
c) k^{2}-8
d) \mathrm{k}^{2}
e) 2 k^{2}

Passo 1

O enunciado diz que
k = \sqrt{3} + \sqrt{5}
e pede para expressar \sqrt{15} em função de k.
O conteúdo principal aqui é usar a identidade do quadrado da soma para lidar com radicais.

Passo 2

Vamos calcular k^2 aplicando
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
com a = \sqrt{3} e b = \sqrt{5}:
k^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\,\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 3 + 2\sqrt{15} + 5 = 8 + 2\sqrt{15}.

Passo 3

A partir de
k^2 = 8 + 2\sqrt{15}
isolamos \sqrt{15}:
2\sqrt{15} = k^2 - 8 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{15} = \frac{k^2 - 8}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{k^2 - 8}{2}

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