(Unicid-2009) Dois números X e, Y satisfazem a relação: X . Y=X+Y. Admitindo que X \neq 0 e Y \neq 0, então o valor da expressão \frac{1}{X}-\frac{X}{Y^{2}}+X é
a) -3
b) -2
c) 0
d) 2
e) 3

Passo 1

O enunciado diz que dois números X e Y, ambos não nulos, satisfazem
X \cdot Y = X + Y.
Queremos calcular a expressão
\frac{1}{X} - \frac{X}{Y^{2}} + X.
O conteúdo envolvido é manipulação de equações algébricas e substituição de variáveis.

Passo 2

Da relação X\cdot Y = X + Y obtemos
XY - Y = X \quad\Longrightarrow\quad Y\,(X - 1) = X.
Como X\neq0 e a hipótese impede X=1 (pois levaria a 0\cdot Y = 1), podemos dividir e achar
Y = \frac{X}{X - 1}.

Passo 3

Elevando ao quadrado,
Y^{2} = \frac{X^{2}}{(X-1)^{2}}.
Logo,
\frac{X}{Y^{2}} = X \cdot \frac{(X-1)^{2}}{X^{2}} = \frac{(X-1)^{2}}{X}.
Substituindo na expressão original:
\frac{1}{X} - \frac{X}{Y^{2}} + X = \frac{1}{X} - \frac{(X-1)^{2}}{X} + X = \frac{1 - (X-1)^{2}}{X} + X.

Passo 4

Calculemos o numerador:
1 - (X-1)^{2} = 1 - \bigl(X^{2} - 2X + 1\bigr) = 2X - X^{2}.
Então
\frac{1 - (X-1)^{2}}{X} + X = \frac{2X - X^{2}}{X} + X = 2 - X + X = 2.

Resposta

(d) 2

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