(UEPB-2009) A expressão \mathrm{E}=\frac{\mathrm{x}+2+\frac{4}{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}^{2}-\frac{8}{\mathrm{x}}}, com x \neq 0 é equivalente a:
a) x+2
b) (x+2)^{-1}
c) x-2
d) (x-2)^{-1}
e) (x-1)^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
E = \frac{x + 2 + \frac{4}{x}}{\,x^{2} - \frac{8}{x}\,}
usando operações com frações e factorization de soma ou diferença de potências, até obter uma forma equivalente simples.

Passo 2

Colocamos o numerador sobre um único denominador x:
x + 2 + \frac{4}{x} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x}.
De modo análogo, colocamos o denominador sobre o mesmo x:
x^2 - \frac{8}{x} = \frac{x^3 - 8}{x}.

Passo 3

Agora E é quociente de duas frações com denominador x, que se cancelam:
E = \frac{\frac{x^2 + 2x + 4}{x}}{\frac{x^3 - 8}{x}} = \frac{x^2 + 2x + 4}{x^3 - 8}.

Passo 4

Reconhecemos diferença de cubos no denominador:
x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)\,(x^2 + 2x + 4).
Logo,
E = \frac{x^2 + 2x + 4}{(x - 2)\,(x^2 + 2x + 4)} = \frac{1}{x - 2}.

Resposta

d) (x - 2)^{-1}

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