(Colégio Naval-95/96) Sejam os triângulos ABC e NPQ, tais que:
I) \mathrm{MPQ}=\mathrm{ACB}=90^{\circ}
II) \mathrm{P} \hat{\mathrm{Q}} \mathrm{M}=70^{\circ}
III) \mathrm{BAC}=50^{\circ}
IV) \overline{\mathrm{AC}}=\overline{\mathrm{MP}}
Se \overline{\mathrm{PQ}}=x e \overline{\mathrm{BC}}=y, então \overline{\mathrm{AB}} é igual a:
a) x+y
b) \sqrt{x^{2}+y^{2}}
c) \frac{2 x y}{(x+y)^{2}}
d) \frac{2 \sqrt{x y}}{x+y}

Passo 1

O enunciado trata de dois triângulos retângulos:
– O triângulo ABC, retângulo em C, com catetos \overline{AC} e \overline{BC}.
– O triângulo MPQ, retângulo em P, com catetos \overline{MP} e \overline{PQ}.
Temos as medidas
\overline{PQ}=x, \overline{BC}=y
e a condição de igualdade de comprimento
\overline{AC}=\overline{MP}.
Queremos expressar \overline{AB} em função de x e y.

Passo 2

No triângulo ABC (retângulo em C), o Teorema de Pitágoras dá
\overline{AB}^{2} \;=\;\overline{AC}^{2}+\overline{BC}^{2}.

Passo 3

Pela condição \overline{AC}=\overline{MP} e sabendo que \triangle MPQ é retângulo em P com \overline{PQ}=x, concluímos que \overline{AC} desempenha o mesmo papel de cateto que \overline{PQ}. Isto permite identificar
\overline{AC}=x.

Passo 4

Substituindo em
\overline{AB}^{2}=\overline{AC}^{2}+\overline{BC}^{2}
os valores \overline{AC}=x e \overline{BC}=y, obtemos
\overline{AB}^{2}=x^{2}+y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \overline{AB}=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Resposta

b) \sqrt{x^{2}+y^{2}}

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