(Colégio Naval-79/80) O triângulo \mathbf{A B C} tem 60 \mathrm{~cm}^{2} de área. Dividindo-se o lado \overline{\mathrm{BC}} em 3 partes proporcionais aos números; 2,3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto \mathbf{A}, a área do maior dos 3 triângulos é:
a) 30 \mathrm{~cm}^{2}
b) 21 \mathrm{~cm}^{2}
c) 35 \mathrm{~cm}^{2}
d) 42 \mathrm{~cm}^{2}
Passo 1
O enunciado nos dá um triângulo \mathbf{ABC} de área 60,cm^2. O lado \overline{BC} é dividido em três segmentos cujas comprimentos são proporcionais a 2:3:7. Cada um desses segmentos é usado como base de um triângulo com vértice em \mathbf{A}. Precisamos achar a área do maior desses triângulos.
Passo 2
Sejam os comprimentos desses segmentos 2x, 3x e 7x. Como eles formam uma partição de BC, temos que a base total BC mede
2x + 3x + 7x = 12x.
Passo 3
Triângulos que compartilham a mesma altura (do vértice A até a reta BC) têm áreas proporcionais às suas bases. Logo, se chamarmos as áreas desses triângulos de A_1, A_2 e A_3, podemos escrever
A_1 = 2k,\quad A_2 = 3k,\quad A_3 = 7k
para algum k>0. Como a soma das três áreas é a área do triângulo ABC, temos
2k + 3k + 7k = 12k = 60
\implies k = 5.
Passo 4
O maior dos três triângulos corresponde ao segmento de comprimento 7x, logo sua área é
A_3 = 7k = 7 \times 5 = 35\text{ cm}^2.
Resposta
35 cm^{2} (alternativa c)
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 36