(Colégio Naval-94/95) Um triângulo de vértice \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , retângulo em A , os catetos AB e AC medem respectivamente 6 \sqrt{3} \mathrm{~cm} e 6 cm .
Traça-se o segmento AM, M pertencente e interno ao segmento BC . Sabendo-se que o ângulo MÂ C mede 15^{\circ}, a razão entre as áreas dos triângulo AMC e ABC é:
a) \frac{\sqrt{3}+1}{2}
b) \frac{\sqrt{3}-1}{2}
c) \frac{2+\sqrt{3}}{2}
d) \frac{2-\sqrt{3}}{2}

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo em A com catetos
AB=6\sqrt{3},\quad AC=6
e pede a razão entre as áreas de \triangle AMC e \triangle ABC, sabendo que M está em BC e que
\angle M\!A\!C = 15^\circ.
Para resolver, vamos usar coordenadas, análise de interseção de reta e cálculo de áreas via base-altura.

Passo 2

Colocamos
A=(0,0),\quad B=(6\sqrt{3},0),\quad C=(0,6).
A reta BC tem parâmetro u:
BC:\\ (x,y) = \bigl(6\sqrt{3}(1-u),\\\ 6u\bigr),\quad 0\le u\le1.
O raio AM faz ângulo de 15^\circ com AC (reta vertical), ou seja, seu ângulo com o eixo x é 90^\circ-15^\circ=75^\circ. Logo em parâmetro t>0:
AM:\\ (x,y) = \bigl(t\cos75^\circ,\\ t\sin75^\circ\bigr).

Passo 3

Igualando coordenas de M nas duas parametrizações:
t\cos75^\circ = 6\sqrt{3}(1-u), \qquad t\sin75^\circ = 6u.
Dividindo a segunda pela primeira,
\frac{\sin75^\circ}{\cos75^\circ} = \frac{u}{\sqrt{3}(1-u)},
mas
\tan75^\circ =\frac{\sqrt6+\sqrt2}{\sqrt6-\sqrt2} =2+\sqrt3.
Logo
2+\sqrt3 = \frac{u}{\sqrt{3}(1-u)} \;\Longrightarrow\; u=\frac{\sqrt3}{2}.

Passo 4

Com u=\tfrac{\sqrt3}{2}, temos
M=\bigl(6\sqrt{3}(1-\tfrac{\sqrt3}{2}),\;6\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) =(6\sqrt3-9,\;3\sqrt3).
Área de ABC:
\mathcal A_{ABC}=\tfrac12\cdot AB\cdot AC =\tfrac12\cdot(6\sqrt3)\cdot6 =18\sqrt3.
Área de AMC: use base AC (vertical de comprimento 6) e altura horizontal |x_M|:
\mathcal A_{AMC} =\tfrac12\cdot AC\cdot |x_M| =3\,(6\sqrt3-9) =18\sqrt3-27.

Passo 5

A razão pedida é
\frac{\mathcal A_{AMC}}{\mathcal A_{ABC}} =\frac{18\sqrt3-27}{18\sqrt3} =1-\frac{27}{18\sqrt3} =1-\frac{\sqrt3}{2} =\frac{2-\sqrt3}{2}.

Resposta

d) \displaystyle\frac{2-\sqrt3}{2}

Exercícios de Livros Relacionados