(Colégio Naval-85/86) O vértice E de um triângulo equilátero ABE está no interior de um quadrado ABCD , e F é o ponto de interseção da diagonal \overline{B D} e o lado \overline{A E}. Se a medida de \overline{A B} é Igual a \sqrt{1+\sqrt{3}}, então a área do triângulo BEF é:
a) \sqrt{3}-\frac{3}{4}
b) 1-\frac{\sqrt{3}}{4}
c) \frac{\sqrt{3}+1}{4}
d) \frac{\sqrt{3}-1}{4}

Passo 1

O problema dá um quadrado ABCD de lado
AB = L = \sqrt{1+\sqrt{3}},
e um triângulo equilátero ABE cujo vértice E está dentro do quadrado. Precisamos encontrar a área do triângulo BEF, onde F é a interseção da diagonal \overline{BD} com o lado \overline{AE}. Vamos
  1. Colocar coordenadas em A,B,C,D.
  2. Determinar as coordenadas de E.
  3. Achar a interseção F.
  4. Calcular a área de BEF por determinante.

Passo 2

Escolhemos o sistema de coordenadas:
A=(0,0),\quad B=(L,0),\quad C=(L,L),\quad D=(0,L).
Como ABE é equilátero e E deve ficar dentro do quadrado (e acima de AB), as coordenadas de E são
E=\Bigl(\tfrac{L}{2},\,\tfrac{L\sqrt{3}}{2}\Bigr),
pois esse ponto forma com A e B um triângulo de lado L.

Passo 3

A reta BD tem parâmetro t:
BD(t)=\bigl(L(1-t),\,L\,t\bigr),\quad t\in[0,1].
A reta AE tem parâmetro s:
AE(s)=\Bigl(\tfrac{Ls}{2},\,\tfrac{L\sqrt{3}\,s}{2}\Bigr),\quad s\in[0,1].
Para a interseção F, igualamos as duas parametrizações:
\frac{Ls}{2}=L(1-t), \quad \frac{L\sqrt{3}\,s}{2}=Lt.
Da primeira vem s=2(1-t). Da segunda vem t=\tfrac{\sqrt3\,s}{2}. Substituindo, obtém-se
t=\frac{3-\sqrt3}{2}, \quad s=\sqrt3-1.
Logo
F=BD\bigl(t\bigr) =\Bigl(L\,(1-t),\,L\,t\Bigr) =\Bigl(\tfrac{(\sqrt3-1)L}{2},\,\tfrac{(3-\sqrt3)L}{2}\Bigr).

Passo 4

Para calcular a área de BEF, usamos vetores
\overrightarrow{BE}=E-B=\Bigl(-\tfrac{L}{2},\,\tfrac{L\sqrt3}{2}\Bigr), \quad \overrightarrow{BF}=F-B =\Bigl(\tfrac{(\sqrt3-3)L}{2},\,\tfrac{(3-\sqrt3)L}{2}\Bigr).
O determinante em \R^2 dá duas vezes a área orientada:
\det\bigl[\overrightarrow{BE},\,\overrightarrow{BF}\bigr] = L^2\,\frac{4\sqrt3-6}{4} = L^2\,\frac{2\sqrt3-3}{2}.
Portanto a área é
\text{Área}(BEF) =\frac12\bigl|\det[\dots]\bigr| =\frac{L^2\,(2\sqrt3-3)}{4}.Á
Como L^2=1+\sqrt3, temos
\text{Área}(BEF) =\frac{(2\sqrt3-3)\,(1+\sqrt3)}{4} =\frac{3-\sqrt3}{4}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{3-\sqrt3}{4}

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