Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binômios:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade entre somas de quadrados de binomiais e o binomial central. O conteúdo é identidade de coeficientes binomiais. Vamos usar um argumento combinatório de dupla contagem.
Passo 2
Considere um conjunto
com
elementos, dividido em duas partes disjuntas
e
, cada uma com
elementos. Queremos contar de duas maneiras o número de formas de escolher exatamente
elementos de
.
Passo 3
Primeiro modo (contagem direta): o número de maneiras de escolher
de
é
Passo 4
Segundo modo (contagem pela divisão em partes): ao escolher
elementos de
, pode-se escolher exatamente
elementos de
e, simultaneamente,
de
. Para cada
há
jeitos de fazer isso. Como
, o total é
Passo 5
Igualando as duas contagens (dupla contagem) obtemos