Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binômios:
binomn0^2+binomn1^2+ldots+binomnn^2=binom2 nn.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade entre somas de quadrados de binomiais e o binomial central. O conteúdo é identidade de coeficientes binomiais. Vamos usar um argumento combinatório de dupla contagem.

Passo 2

Considere um conjunto X com 2n elementos, dividido em duas partes disjuntas A e B, cada uma com n elementos. Queremos contar de duas maneiras o número de formas de escolher exatamente n elementos de X.

Passo 3

Primeiro modo (contagem direta): o número de maneiras de escolher n de 2n é
binom2nn

Passo 4

Segundo modo (contagem pela divisão em partes): ao escolher n elementos de X=Acup B, pode-se escolher exatamente k elementos de A e, simultaneamente, n-k de B. Para cada kin0,1,dots,n
binomnktimes binomnn-k
jeitos de fazer isso. Como binomnn-k=binomnk, o total é
sumk=0^n binomnkbinomnn-k =sumk=0^n binomnk^2

Passo 5

Igualando as duas contagens (dupla contagem) obtemos
sumk=0^n binomnk^2 =binom2nn

Resposta

binomn0^2+binomn1^2+cdots+binomnn^2 =binom2nn

Exercícios de Livros Relacionados