- Demonstrar que, se
convergir, e se
fôr uma sequiência limitada e monótona de números,
convergirá.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a série
converge e a sequência
é limitada e monótona, então a série
também converge.
Conteúdo: teste de Abel (ou soma por partes) para séries. Vamos usar a transformação de Abel, que é a análoga discreta da integração por partes.
Conteúdo: teste de Abel (ou soma por partes) para séries. Vamos usar a transformação de Abel, que é a análoga discreta da integração por partes.
Passo 2
Seja
o
-ésimo somatório parcial de
. Como
converge,
existe e
é limitada. Usamos então a soma por partes (transformação de Abel):
Passo 3
Como
é monótona e limitada, ela converge a algum
e, em particular, é limitada. Logo
.
Passo 4
Resta mostrar que
converge. Note que, se
for decrescente, então
e
Como
é limitada, digamos
, temos pelo teste da comparação para séries de termos não-negativos
Logo essa série converge. Se
for crescente, faz-se análise análoga com sinais revertidos, mas o argumento de comparação segue igual.
Passo 5
Juntando tudo, as somas parciais
tendem a
portanto convergem.
Resposta
A série
converge.