• Demonstrar que, se Sigma anu convergir, e se b1, b2, b3, ldots fôr uma sequiência limitada e monótona de números, Sigma anu bnu convergirá.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a série sum anu converge e a sequência (bn) é limitada e monótona, então a série sum anubnu também converge.
Conteúdo: teste de Abel (ou soma por partes) para séries. Vamos usar a transformação de Abel, que é a análoga discreta da integração por partes.

Passo 2

Seja
An=sumk=1^nak
o n-ésimo somatório parcial de sum ak. Como sum ak converge, limntoinftyAn=A existe e (An) é limitada. Usamos então a soma por partes (transformação de Abel):
sumk=1^nakbk = An,bn+1 + sumk=1^nAk,(bk-bk+1)

Passo 3

Como (bn) é monótona e limitada, ela converge a algum L e, em particular, é limitada. Logo limntoinftyAnbn+1=A,L.

Passo 4

Resta mostrar que
sumk=1^inftyAk,(bk-bk+1)
converge. Note que, se (bn) for decrescente, então bk-bk+1>=0 e
sumk=1^infty(bk-bk+1)=b1-limntoinftybn=b1-L<infty
Como (Ak) é limitada, digamos |Ak|<= M, temos pelo teste da comparação para séries de termos não-negativos
0;<=;sumk=1^inftyAk,(bk-bk+1) ;<=;Msumk=1^infty(bk-bk+1) ;<;infty
Logo essa série converge. Se (bn) for crescente, faz-se análise análoga com sinais revertidos, mas o argumento de comparação segue igual.

Passo 5

Juntando tudo, as somas parciais
sumk=1^nakbk tendem a
A,L+sumk=1^inftyAk,(bk-bk+1),
portanto convergem.

Resposta

A série sumnu=1^inftyanubnu converge.

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