Comparar a ordem de grandeza de em relação a quando , para as seguintes funçües : .
Passo 1
O enunciado pede para, no caso de , comparar a ordem de grandeza de
com a de quando . O que vamos precisar é calcular esse integral por partes e depois fazer análise assintótica.
Passo 2
Para achar a primitiva de , usamos integração por partes com e . Então e , de modo que
Passo 3
Agora avaliamos o integral definido de a . Note que é um valor finito (igual a ), que vira apenas constante. Assim
Passo 4
Para xtoinfty, o termo dominante em xlog x - x + 1 é xlog x. Logo
integral0^xlogxi,dxi sim xlog x quando xtoinfty
Passo 5
Comparando com f(x)=log x, temos
integral0^xlogxi,dxilog x sim xlog xlog x = x longrightarrowinfty
Isso mostra que o integral cresce um fator x a mais do que log x.
Resposta
integral0^xlogxi,dxi = xlog x - x + 1sim xlog x, que é de ordem Theta(xlog x). Em comparação com f(x)=log x, temos integral0^xf = Theta(x,f(x)), ou seja, cresce x vezes mais do que log x.
Cálculo - Richard Courant - Cálculo 1 - 1ª Edição - Capítulo Exemplos Diversos.Exemplos Diversos - Ex. 85.d