Comparar a ordem de grandeza de integral0^x f(xi) d xi em relação a f(x) quando x infty, para as seguintes funçües f(x) :
log x.

Passo 1

O enunciado pede para, no caso de f(x)=log x, comparar a ordem de grandeza de
integral0^xf(xi),dxi
com a de f(x) quando xtoinfty. O que vamos precisar é calcular esse integral por partes e depois fazer análise assintótica.

Passo 2

Para achar a primitiva de log xi, usamos integração por partes com u=log xi e dv=dxi. Então du=1xidxi e v=xi, de modo que
integral logxi,dxi = xilogxi - integral xicdot1xi,dxi = xilogxi - xi + C

Passo 3

Agora avaliamos o integral definido de 0 a x. Note que integral0^1logxi,dxi é um valor finito (igual a -1), que vira apenas constante. Assim
integral0^xlogxi,dxi = l[xilogxi - xir]0^x = l(xlog x - xr) - l(0 - 0r) + underbraceintegral0^1logxi,dxi-1 = xlog x - x + 1

Passo 4

Para xtoinfty, o termo dominante em xlog x - x + 1 é xlog x. Logo
integral0^xlogxi,dxi sim xlog x quando xtoinfty

Passo 5

Comparando com f(x)=log x, temos
integral0^xlogxi,dxilog x sim xlog xlog x = x longrightarrowinfty
Isso mostra que o integral cresce um fator x a mais do que log x.

Resposta

integral0^xlogxi,dxi = xlog x - x + 1sim xlog x, que é de ordem Theta(xlog x). Em comparação com f(x)=log x, temos integral0^xf = Theta(x,f(x)), ou seja, cresce x vezes mais do que log x.

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