Nostrar que d^n(e^x^2 / 2)d x^n=un(x) e^x^2 / 2,
onde u2(r) representa um poliuômio de grau n. Estabelecer a relação de recorrência.
un+1=x un+un^prime

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>=0,
d^ndx^nl(e^x^2/2r)=un(x),e^x^2/2,
onde un(x) é um polinômio de grau n, e ainda estabelecer a relação de recorrência
un+1(x)=x,un(x)+u'n(x)
O conteúdo aqui é derivação sucessiva de funções compostas (produto e cadeia), aplicando o fato de que l(e^x^2/2r)'=x,e^x^2/2.

Passo 2

Verificamos a base da indução para n=0 e n=1.
Para n=0 temos
d^0dx^0l(e^x^2/2r)=e^x^2/2,
logo u0(x)=1, polinômio de grau zero.
Para n=1 aplicamos a regra da cadeia:
ddxl(e^x^2/2r)=l(x,e^x^2/2r)=xcdot e^x^2/2,
portanto u1(x)=x, um polinômio de grau um.

Passo 3

Suponha agora, por indução, que valha para algum n>=1:
d^ndx^nl(e^x^2/2r)=un(x),e^x^2/2,
com un(x) polinômio de grau n. Vamos calcular a derivada de ordem n+1 pela regra do produto:

Passo 4

d^n+1dx^n+1l(e^x^2/2r) =ddxl(un(x),e^x^2/2r) =u'n(x),e^x^2/2+un(x),ddxl(e^x^2/2r)
Como ddxl(e^x^2/2r)=x,e^x^2/2, obtemos
d^n+1dx^n+1l(e^x^2/2r) =l(u'n(x)+x,un(x)r),e^x^2/2
Daí segue a relação de recorrência
un+1(x)=x,un(x)+u'n(x)

Passo 5

Finalmente, como un(x) é de grau n, seu termo principal é anx^n. Então x,un(x) é de grau n+1 e u'n(x) de grau n-1, de modo que un+1(x) é de grau n+1. Isso completa a prova por indução.

Resposta

Estabeleceu-se que
d^ndx^nl(e^x^2/2r)=un(x),e^x^2/2,
com un(x) polinômio de grau n, e a recorrência
un+1(x)=x,un(x)+u'n(x)

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