Nostrar que
,
onde
representa um poliuômio de grau
. Estabelecer a relação de recorrência.
onde
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
,
onde
é um polinômio de grau
, e ainda estabelecer a relação de recorrência
O conteúdo aqui é derivação sucessiva de funções compostas (produto e cadeia), aplicando o fato de que
.
Passo 2
Verificamos a base da indução para
e
.
Para temos
Para
logo
, polinômio de grau zero.
Para aplicamos a regra da cadeia:
Para
portanto
, um polinômio de grau um.
Passo 3
Suponha agora, por indução, que valha para algum
:
com
polinômio de grau
. Vamos calcular a derivada de ordem
pela regra do produto:
Passo 4
Como
, obtemos
Daí segue a relação de recorrência
Passo 5
Finalmente, como
é de grau
, seu termo principal é
. Então
é de grau
e
de grau
, de modo que
é de grau
. Isso completa a prova por indução.
Resposta
Estabeleceu-se que
com
polinômio de grau
, e a recorrência