Demonstrar, por comparação com
, o seguinte critério:
A série
convergirá ou divergirá, conforme
fôr maior do que
ou menor do que
para qualquer valor suficientemente grande de
.
Passo 1
O enunciado pede que demonstremos um critério de convergência da série
comparando-a com a série tipo
.
Esse critério é uma forma refinada do teste de Gauss (ou de Raabe–Duhamel) e envolve o comportamento assintótico do quociente entre termos consecutivos:
comparando-a com a série tipo
Esse critério é uma forma refinada do teste de Gauss (ou de Raabe–Duhamel) e envolve o comportamento assintótico do quociente entre termos consecutivos:
O objetivo é provar que, se para
grande tivermos
então
converge, e se
então
diverge.
Passo 2
Expressão de
do quociente e sua expansão.
Por hipótese, para grande existe
tal que
Por hipótese, para
com
(no caso de convergência).
Logo,
Logo,
Como
, temos
Passo 3
Soma telescópica dos logaritmos.
Somando essa desigualdade de até
, obtemos
Somando essa desigualdade de
No lado esquerdo temos log produzido pela “cadeia” de quocientes:
No lado direito, sabemos que
e
.
Portanto para grande,
Portanto para
Passo 4
Extrair o comportamento assintótico de
.
Da desigualdade anterior segue
Da desigualdade anterior segue
isto é,
Logo, existe constante
tal que para
grande
E como
é convergente (p-série com expoente
), a comparação direta mostra que
converge.
Passo 5
Caso de divergência.
Se em vez disso tivermos para
grande, repete-se o mesmo raciocínio até chegar a
Se em vez disso tivermos
e somando,
Nesse caso
para
tão grande quanto se queira, o que implica que
é comparável ou maior do que
, logo diverge.
Resposta
Demonstra-se assim que, se para
suficientemente grande
a série
converge; e se
ela diverge. Isso completa a demonstração por comparação com as séries do tipo
.