Demonstrar, por comparação com Sigma 1nu(log nu)^a, o seguinte critério:
A série Sigma|av| convergirá ou divergirá, conforme
n log pi(|a0||an+1|-1-1n)
fôr maior do que 1+epsilon ou menor do que 1-epsilon para qualquer valor suficientemente grande de n.

Passo 1

O enunciado pede que demonstremos um critério de convergência da série
sumv=0^infty|av|
comparando-a com a série tipo
sumv=1^infty1v(log v)^,a.
Esse critério é uma forma refinada do teste de Gauss (ou de Raabe–Duhamel) e envolve o comportamento assintótico do quociente entre termos consecutivos:
Ln ;=; n,log!gl(|an||an+1|gr);-;1;-;1n
O objetivo é provar que, se para n grande tivermos
Ln>1+varepsilon,
então sum|an| converge, e se
Ln<1-varepsilon,
então sum|an| diverge.

Passo 2

Expressão de log do quociente e sua expansão.
Por hipótese, para n grande existe varepsilon>0 tal que
n,log!gl(|an||an+1|gr) ;=; 1+1n+Ln,
com Ln>1+varepsilon (no caso de convergência).
Logo,
log!gl(|an||an+1|gr) =1n+1n^2+Lnn
Como Ln>1+varepsilon, temos
log!gl(|an||an+1|gr) >1n+1n^2+1+varepsilonn =2+varepsilonn+1n^2

Passo 3

Soma telescópica dos logaritmos.
Somando essa desigualdade de n= N0 até n=N, obtemos
sumn=N0^N log!gl(|an||an+1|gr) ;>; sumn=N0^Nl(2+varepsilonn+1n^2r)
No lado esquerdo temos log produzido pela “cadeia” de quocientes:
sumn=N0^N log!gl(|an||an+1|gr) = log!gl(|aN0||aN+1|gr)
No lado direito, sabemos que
sumn=N0^N1n=ln N+O(1) e
sumn=N0^infty1n^2<infty.
Portanto para N grande,
log!gl(|aN0||aN+1|gr) > (2+varepsilon),ln N ;+;O(1)

Passo 4

Extrair o comportamento assintótico de |aN+1|.
Da desigualdade anterior segue
-log|aN+1| ;>; (2+varepsilon),ln N ;-;log|aN0| ;+;O(1),
isto é,
log|aN+1| < -,(2+varepsilon),ln N + O(1) Longrightarrow |aN+1| = O!l(N^-2-varepsilonr)
Logo, existe constante C tal que para n grande
|an|<= Cn^2+varepsilon
E como sum n^-2-varepsilon é convergente (p-série com expoente >1), a comparação direta mostra que sum|an| converge.

Passo 5

Caso de divergência.
Se em vez disso tivermos Ln<1-varepsilon para n grande, repete-se o mesmo raciocínio até chegar a
log!gl(|an||an+1|gr) <2-varepsilonn+1n^2,
e somando,
log!gl(|aN0||aN+1|gr) <(2-varepsilon)ln N + O(1) ;Longrightarrow; |aN+1|>C'N^2-varepsilon
Nesse caso 2-varepsilon<=1 para varepsilon tão grande quanto se queira, o que implica que sum|an| é comparável ou maior do que sum 1/n, logo diverge.

Resposta

Demonstra-se assim que, se para n suficientemente grande
n,log!l(tfrac|an||an+1|r);-;1-tfrac1n > 1+varepsilon,
a série sum|an| converge; e se
n,log!l(tfrac|an||an+1|r);-;1-tfrac1n < 1-varepsilon,
ela diverge. Isso completa a demonstração por comparação com as séries do tipo sum1/[n(ln n)^a].

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