O comprimento (em centímetros) de muitos peixes, de t anos de idade, importantes na alimentação de muitas populações, pode ser, aproximadamente, modelado pela função de Von Bertalandffy:
f(t)=a[1-b e^-k t]
onde a, b, c in R.
(a) Para um peixe típico do Oceano Pacífico: a=200, b=0.965 e k=0.18. Calcule o comprimento de um destes peixes típicos de 10 anos.
(b) Como se interpreta a constante a na fórmula?

Passo 1

O enunciado dá o modelo de Von Bertalanffy para o comprimento f(t) (em cm) de um peixe de t anos:
f(t)=al[1 - b,e^-k tr],
com a=200, b=0.965 e k=0.18. Precisamos (a) calcular f(10) e (b) interpretar o parâmetro a.

Passo 2

Calcular o termo exponencial em t=10:
e^-k t = e^-0.18cdot10 = e^-1.8 approx 0.1653

Passo 3

Substituir em f(10):
f(10) = 200l[1 - 0.965 times 0.1653r] =200l[1 - 0.1594r] =200times0.8406approx168.1

Passo 4

O parâmetro a aparece como fator fora dos colchetes e, quando ttoinfty, e^-k tto0. Logo
limttoinftyf(t)=a,
ou seja, a é o comprimento assintótico máximo que o peixe pode atingir.

Resposta

(a) 168,1 cm
(b) a é o comprimento máximo assintótico do peixe, ou seja, o tamanho que ele tende a atingir quando ttoinfty.

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