Determine a exponencial que melhor se ajusta aos pontos:
(-1,0.3),(-0.5,0.56),(0,1.13),(0.5,1.6),(2,8.8) e (2.5,15).

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma função exponencial do tipo
y = A e^k x
aos pontos dados usando mínimos quadrados. Para isso, vamos transformar o modelo em uma reta aplicando o logaritmo natural em y, obtendo
ln y = ln A + k,x.

Passo 2

Calcular ln yi para cada ponto (xi,yi):
(-1,0,3)mapsto ln(0,3)approx -1,204
(-0,5,0,56)mapsto ln(0,56)approx -0,580
(0,1,13)mapsto ln(1,13)approx 0,122
(0,5,1,6)mapsto ln(1,6)approx 0,470
(2,8,8)mapsto ln(8,8)approx 2,175
(2,5,15)mapsto ln(15)approx 2,708

Passo 3

Calcular as somas necessárias para a regressão linear em (xi,ln yi):
n=6
sum xi = -1 -0,5 +0 +0,5 +2 +2,5 = 3,5
sum ln yi approx -1,204 -0,580 +0,122 +0,470 +2,175 +2,708 = 3,691
sum xi^2 = 1 +0,25 +0 +0,25 +4 +6,25 = 11,75
sum xiln yi approx 1,204 +0,290 +0 +0,235 +4,350 +6,770 = 12,849

Passo 4

Usar as fórmulas da reta ln y = a + b x:
b = nsum xiln yi ;-;sum xisum ln yinsum xi^2 ;-;(sum xi)^2
a = sum ln yi ;-;bsum xin
Substituindo:
b approx 6cdot12,849 -3,5cdot3,6916cdot11,75 - (3,5)^2 = 77,094 -12,918570,5 -12,25approx1,102
a approx 3,691 -1,102cdot3,56=-0,1666approx -0,0277

Passo 5

Converter a=ln A em A via exponenciação:
A = e^a approx e^-0,0277approx 0,973

Passo 6

Escrever o modelo exponencial ajustado:
y approx 0,973 ,e^1,102,x

Resposta

y approx 0,973,e^1,102,x

Exercícios de Livros Relacionados