O comprimento de um circunferência é de 8 pi cm. Determine o raio da circunferência e o perímetro do quadrado inscrito.

Passo 1

O enunciado diz que o comprimento da circunferência é 8pi cm e pede (a) o raio dessa circunferência e (b) o perímetro do quadrado inscrito nela. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma circunferência e a relação entre diagonal do quadrado inscrito e o diâmetro do círculo.

Passo 2

Para encontrar o raio r, aplicamos a fórmula do comprimento:
L = 2pi r
Como L = 8pi, temos
2pi r = 8pi Longrightarrow r = 8pi2pi = 4 cm

Passo 3

O diâmetro da circunferência é
d = 2r = 2 times 4 = 8 cm
Num quadrado inscrito, a diagonal do quadrado coincide com o diâmetro do círculo.

Passo 4

Se s é o lado do quadrado, a diagonal é sraiz2. Igualando ao diâmetro:
sraiz2 = 8 Longrightarrow s = 8raiz2 = 4raiz2 cm

Passo 5

O perímetro P do quadrado é quatro vezes o lado:
P = 4s = 4 times 4raiz2 = 16raiz2 cm

Resposta

O raio da circunferência é 4 cm e o perímetro do quadrado inscrito é 16raiz2 cm.

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