Calcule o valor de:
|rrrrr 1 & 2 & 3 & 4 & 5 6 & 7 & 8 & 9 & 10 11 & 12 & 13 & 14 & 15 16 & 17 & 18 & 19 & 20 21 & 22 & 23 & 24 & 25 |+|rrrr 1 & 2 & 4 & 5 0 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 1 1 & 4 & 2 & 1 |

Passo 1

O enunciado pede a soma de dois determinantes: um de uma matriz 5times5 cujos elementos vão de 1 a 25 em ordem, e outro de uma matriz 4times4. Para resolver, vamos usar propriedades de determinante (dependência linear de linhas) no primeiro e expansão por cofatores no segundo.

Passo 2

Analisando a matriz de ordem 5,
A = 1 & 2 & 3 & 4 & 5 6 & 7 & 8 & 9 & 10 11 & 12 & 13 & 14 & 15 16 & 17 & 18 & 19 & 20 21 & 22 & 23 & 24 & 25 ,
note que cada entrada satisfaz
aij = 5(i-1) + j
Logo podemos escrever
A = u,1^T + 1,v^T,
onde ui = 5(i-1), vj = j e 1 é o vetor coluna de uns. Cada termo é de posto 1, então A tem posto no máximo 2 e suas linhas são linearmente dependentes.

Passo 3

Como a matriz A tem posto menor que 5, concluímos que
det(A) = 0

Passo 4

Agora, considere a matriz de ordem 4,
B = 1 & 2 & 4 & 5 0 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 1 1 & 4 & 2 & 1
Vamos expandir o determinante ao longo da segunda linha, que tem apenas um elemento não nulo ( b2,2=1).

Passo 5

Pelo desenvolvimento por cofatores em (2,2),
det(B) = (-1)^2+2cdot b2,2cdot det 1 & 4 & 5 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1
Ou seja,
det(B) = 1 times det 1 & 4 & 5 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1

Passo 6

Calculemos o 3times3:
det 1 & 4 & 5 1 & 0 & 1 1 & 2 & 1 = 1cdotl(0cdot1 - 1cdot2r) -4cdotl(1cdot1 - 1cdot1r) +5cdotl(1cdot2 - 0cdot1r) = 1cdot(-2) -4cdot0 +5cdot2 = -2 + 10 = 8
Portanto det(B)=8.

Passo 7

Somando os dois determinantes:
det(A) + det(B) = 0 + 8 = 8

Resposta

8

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