Subsiste sempre a igualdade
ccc 1 & 1 & 1 sen x & sen y & sen z cos x & cos y & cos z

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se, para quaisquer x,y,zinR, vale sempre
1 & 1 & 1 sin x & sin y & sin z cos x & cos y & cos z =sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)
O que vamos usar: a regra de expansão de um determinante 3times3 e a identidade trigonométrica
sinalphacosbeta-cosalphasinbeta=sin(alpha-beta)

Passo 2

Calculemos o determinante
D ;=; 1 & 1 & 1 sin x & sin y & sin z cos x & cos y & cos z
expandindo pela primeira linha:
D = 1l(sin ycos z-sin zcos yr) -1l(sin xcos z-sin zcos xr) +1l(sin xcos y-sin ycos xr)

Passo 3

Aplicando a identidade sinalphacosbeta-cosalphasinbeta=sin(alpha-beta) em cada par de termos, temos
sin ycos z-sin zcos y = sin(y-z),
sin xcos z-sin zcos x = sin(x-z),
sin xcos y-sin ycos x = sin(x-y)
Logo
D = sin(y-z);-;sin(x-z);+;sin(x-y)
Mas -sin(x-z)=sin(z-x), então
D=sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)

Resposta

Sim. A igualdade
1 & 1 & 1 sin x & sin y & sin z cos x & cos y & cos z =sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)
vale para todos x,y,zinR.

Exercícios de Livros Relacionados