Estude o sistema:
lk(x+y)+z=0 k(y+z)+x=0 k(z+x)+y=0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear paramétrico
k(x+y)+z=0, k(y+z)+x=0, k(z+x)+y=0,
com incógnitas x,y,z e parâmetro k. Vamos estudar para quais valores de k o sistema tem apenas a solução trivial (0,0,0) ou soluções não triviais, aplicando cálculo de determinante e análise de posto.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A na ordem (x,y,z):
A = k & k & 1 1 & k & k k & 1 & k
O sistema homogêneo tem solução única trivial se det Aneq0 e infinitas soluções caso det A=0.

Passo 3

Calculamos o determinante de por expansão:
Isso dá

Passo 4

Fatoramos
2k^3 -3k^2 +1 = (k-1)(2k^2 - k -1) = (k-1)^2,(2k+1)
Logo, det A=0 se, e somente se, k=1 ou k=-tfrac12.

Passo 5

Caso kneq1 e kneq -tfrac12:
det Aneq0, o sistema só admite a solução trivial
(x,y,z)=(0,0,0)

Passo 6

Caso k=1: todas as três equações coincidem em
x+y+z=0,
portanto o posto de A é 1 e a família de soluções é o plano de dimensão 2
(x,y,z)inR^3 mid x+y+z=0

Passo 7

Caso k=-tfrac12: as equações tornam-se
-tfrac12(x+y)+z=0, -tfrac12(y+z)+x=0, -tfrac12(z+x)+y=0,
que implicam x=y e z=tfracx+y2=x. O posto de A é 2 e a solução geral é a reta de dimensão 1
(t,t,t)mid tinR

Resposta

Para o sistema homogêneo temos:
– Se kneq1 e kneq-tfrac12, única solução (0,0,0).
– Se k=1, infinitas soluções com x+y+z=0 (plano de dimensão 2).
– Se k=-tfrac12, infinitas soluções com x=y=z (reta de dimensão 1).

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