Discuta e resolva o sistema:
m x-y+m z & =m 2 x+m z & =3 m x+m y & =2

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear em três incógnitas x,y,z dependendo do parâmetro m:
m x - y + m z = m, 2 x + m z = 3, m x + m y = 2
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas lineares com parâmetro, e vamos usar determinante da matriz dos coeficientes para classificar o número de soluções e, em seguida, resolver por eliminação.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
A = m & -1 & m 2 & 0 & m m & m & 0
e calculamos o determinante por expansão:
det(A) = mdet0 & m m & 0 -(-1)det2 & m m & 0 + mdet2 & 0 m & m
Isso dá
det(A) = -m^3 - m^2 + 2m^2 = m^2(1-m)

Passo 3

Como det(A)=m^2(1-m), há três casos:
  1. mneq0 e mneq1: det(A)neq0, o sistema tem única solução.
  2. m=1: det(A)=0, pode haver infinitas soluções ou nenhuma; verificamos consistência.
  3. m=0: det(A)=0, idem.

Passo 4

Caso mneq0,1. Da segunda equação isolamos
x = 3 - mz2,
e da terceira
m y = 2 - m x Rightarrow y = 2m - x
Substituindo em m x - y + m z = m e resolvendo, obtemos
z = m+4m^2, x = m-2m, y = 4-mm

Passo 5

Caso
Da terceira: . A primeira fica , que é identicamente verdadeira. Logo há infinitas soluções parametricamente:

Passo 6

Caso
daí e , que é impossível. Logo não há solução.

Resposta

Para resumir:
Para mneq0,1, solução única
x = m-2m, y = 4-mm, z = m+4m^2
Para m=1, infinitas soluções
(x,y,z) = l(t,;2-t,;3-2tr),;tinR
Para m=0, sistema sem solução.

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