O enunciado apresenta um sistema linear em três incógnitas x,y,z dependendo do parâmetro m:
m x - y + m z = m, 2 x + m z = 3, m x + m y = 2
O conteúdo da matéria é resolução de sistemas lineares com parâmetro, e vamos usar determinante da matriz dos coeficientes para classificar o número de soluções e, em seguida, resolver por eliminação.
Passo 2
Formamos a matriz dos coeficientes
A = m & -1 & m 2 & 0 & m m & m & 0
e calculamos o determinante por expansão:
det(A) = mdet0 & m m & 0 -(-1)det2 & m m & 0 + mdet2 & 0 m & m
Isso dá
det(A) = -m^3 - m^2 + 2m^2 = m^2(1-m)
Passo 3
Como det(A)=m^2(1-m), há três casos:
mneq0 e mneq1: det(A)neq0, o sistema tem única solução.
m=1: det(A)=0, pode haver infinitas soluções ou nenhuma; verificamos consistência.
m=0: det(A)=0, idem.
Passo 4
Caso mneq0,1. Da segunda equação isolamos
x = 3 - mz2,
e da terceira
m y = 2 - m x Rightarrow y = 2m - x
Substituindo em m x - y + m z = m e resolvendo, obtemos
z = m+4m^2, x = m-2m, y = 4-mm
Passo 5
Caso
Da terceira: . A primeira fica , que é identicamente verdadeira. Logo há infinitas soluções parametricamente:
Passo 6
Caso
daí e , que é impossível. Logo não há solução.
Resposta
Para resumir:
Para mneq0,1, solução única
x = m-2m, y = 4-mm, z = m+4m^2
Para m=1, infinitas soluções
(x,y,z) = l(t,;2-t,;3-2tr),;tinR
Para m=0, sistema sem solução.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 394