Quando um cone está circunscrito a uma esfera de raio a, o raio r e a altura h do cone estão ligados ao raio da esfera pela relação:
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{r^{2}}=\frac{2}{a h} .

Passo 1

Temos um cone reto de altura h e raio da base r que circunscreve uma esfera de raio a. Queremos mostrar a relação entre a, r e h. Vamos usar geometria analítica no plano de uma seção meridional do cone e a condição de tangência da esfera à geratriz do cone.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos onde o vértice do cone fica em (0,h), o centro da base em (0,0) e a circunferência da base num ponto (r,0). A geratriz ligada ao ponto (r,0) tem equação passando por (0,h) e (r,0), ou seja,
y = -\frac{h}{r}\,x + h.

Passo 3

O centro da esfera insdita está em (0,a) (a esfera é tangente à base em y=0). A condição de tangência à geratriz é que a distância desse ponto à reta seja igual a a. Pela fórmula da distância ponto–reta:
\frac{\bigl|a - h\bigr|}{\sqrt{\bigl(\tfrac{h}{r}\bigr)^{2} + 1}} = a.
Como h>a, temos \lvert a-h\rvert = h - a.

Passo 4

Elevando ao quadrado e simplificando:
(h - a)^{2} = a^{2}\Bigl(\tfrac{h^{2}}{r^{2}} + 1\Bigr) \;\Longrightarrow\; h^{2} - 2ah + a^{2} = \frac{a^{2}h^{2}}{r^{2}} + a^{2}.
Cancelando a^{2} e reorganizando:
h^{2} - 2ah = \frac{a^{2}h^{2}}{r^{2}} \;\Longrightarrow\; h\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr) = 2ar^{2}.
Dividindo ambos os lados por a^{2}r^{2}h chega-se à relação desejada.

Resposta

\frac{1}{a^{2}} \;-\;\frac{1}{r^{2}} \;=\;\frac{2}{a\,h}.
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