Quando um cone está circunscrito a uma esfera de raio a, o raio r e a altura h do cone estão ligados ao raio da esfera pela relação:
\frac{1}{a^{2}}-\frac{1}{r^{2}}=\frac{2}{a h} .
Passo 1
Temos um cone reto de altura h e raio da base r que circunscreve uma esfera de raio a. Queremos mostrar a relação entre a, r e h. Vamos usar geometria analítica no plano de uma seção meridional do cone e a condição de tangência da esfera à geratriz do cone.
Passo 2
Escolhemos um sistema de eixos onde o vértice do cone fica em (0,h), o centro da base em (0,0) e a circunferência da base num ponto (r,0). A geratriz ligada ao ponto (r,0) tem equação passando por (0,h) e (r,0), ou seja,
y = -\frac{h}{r}\,x + h.
Passo 3
O centro da esfera insdita está em (0,a) (a esfera é tangente à base em y=0). A condição de tangência à geratriz é que a distância desse ponto à reta seja igual a a. Pela fórmula da distância ponto–reta:
\frac{\bigl|a - h\bigr|}{\sqrt{\bigl(\tfrac{h}{r}\bigr)^{2} + 1}} = a.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 979