Determine a área total e o volume de um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio R.

Passo 1

O enunciado quer a área total e o volume de um tetraedro regular que é circunscrito a uma esfera de raio R. O conteúdo é geometria espacial, mais especificamente propriedades de tetraedro regular e sua esfera inscrita (inradius).

Passo 2

Num tetraedro regular de aresta a, o raio da esfera inscrita (inradius) vale
r = araiz612
Como aqui a esfera inscrita tem raio R, basta inverter essa relação:
a = 12,Rraiz6 = 2raiz6,R

Passo 3

Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado a, cuja área é
Aface = a^2raiz34
Como há 4 faces, a área total S é
S = 4 times a^2raiz34 = a^2raiz3
Substituindo a = 2raiz6,R resulta
S = l(2raiz6,Rr)^2raiz3 = 4cdot6,R^2raiz3 = 24raiz3,R^2

Passo 4

O volume de um tetraedro regular de aresta a é
V = a^36raiz2
Substituindo a = 2raiz6,R temos
V = l(2raiz6,Rr)^36raiz2 = 8cdot(raiz6)^3,R^36raiz2 = 8cdot6raiz6,R^36raiz2 = 8,R^3raiz62 = 8raiz3,R^3

Resposta

S = 24raiz3,R^2, V = 8raiz3,R^3

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