Determine a área total e o volume de um tetraedro regular circunscrito a uma esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado quer a área total e o volume de um tetraedro regular que é circunscrito a uma esfera de raio
. O conteúdo é geometria espacial, mais especificamente propriedades de tetraedro regular e sua esfera inscrita (inradius).
Passo 2
Num tetraedro regular de aresta
, o raio da esfera inscrita (inradius) vale
Como aqui a esfera inscrita tem raio
, basta inverter essa relação:
Passo 3
Cada face do tetraedro é um triângulo equilátero de lado
, cuja área é
Como há 4 faces, a área total
é
Substituindo
resulta
Passo 4
O volume de um tetraedro regular de aresta
é
Substituindo
temos