Determine o volume do espaço limitado pelos troncos de pirâmide quadrangular e cone, sabendo que a base menor do tronco de cone está apoiada na base menor do tronco de pirâmide e que a base maior do tronco de cone está apoiada na base maior do tronco de pirâmide, sendo 10 cm e 6 cm as arestas da base maior e menor, respectivamente, do tronco de pirâmide, 3 cm e 1 cm os raios das bases e 12 cm a altura do tronco de cone.

Passo 1

O enunciado pede o volume do espaço que fica entre um tronco de pirâmide de base quadrada (arestas da base maior iguais a 10 cm e da base menor iguais a 6 cm) e um tronco de cone (raios da base maior iguais a 3 cm e da base menor iguais a 1 cm), sabendo que as bases menores e maiores coincidem em posição e que ambos têm altura de 12 cm. Vamos calcular separadamente o volume do tronco da pirâmide e o do tronco de cone, e depois obter a diferença para achar o volume da região entre eles.

Passo 2

Para o tronco de pirâmide quadrangular temos base maior de área B1 = 10^2 = 100, base menor de área B2 = 6^2 = 36 e altura H = 12. A fórmula geral do volume é
Vp = H3l(B1 + B2 + raizB1B2r)
Substituindo,
Vp = 123l(100 + 36 + raiz100cdot36r) = 4,(100 + 36 + 60) = 4 cdot 196 = 784 cm^3

Passo 3

Para o tronco de cone com raio maior R=3, raio menor r=1 e altura H=12, usamos
Vc = pi H3l(R^2 + r^2 + R,rr)
Logo,
Vc = picdot123l(3^2 + 1^2 + 3cdot1r) = 4pi,(9 + 1 + 3) = 4pi cdot 13 = 52pi cm^3

Passo 4

Como o tronco de cone está inteiro dentro do tronco de pirâmide, o volume da região entre eles é
V = Vp - Vc = 784 - 52pi cm^3

Resposta

784 - 52pi cm^3

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