Em um cone cuja geratriz g forma com o plano da base um ângulo alpha, inscrevemos um prisma regular quadrangular; sendo as arestas laterais do prisma congruentes, determine a superfície total do prisma.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cone de geratriz g que faz ângulo alpha com o plano da base. Nele está inscrito um prisma de base quadrangular regular (isto é, base é um quadrado de lado a) e arestas laterais congruentes ao lado da base (logo altura do prisma H=a). Precisamos encontrar a área total do prisma em função de g e alpha. Usaremos semelhança de triângulos para relacionar o raio da base do cone e a altura do prisma, e depois calculamos as áreas das faces do prisma.

Passo 2

Escolhendo um sistema de eixos com a base do cone no plano z=0 e o vértice em z=Hc, a seção meridiana do cone satisfaz
rho(z)=Rl(1-tfraczHcr),
onde R é o raio da base e Hc a altura do cone. Num prisma reto de altura H, a base é um quadrado de lado a e seus vértices têm coordenada radial rho=a/raiz2. Como os vértices superiores do prisma devem tocar a superfície lateral do cone ao nível z=H, impomos
araiz2 =rho(H) =Rl(1-HHcr)
Assim,
a=raiz2,Rl(1-HHcr)

Passo 3

A condição “arestas laterais congruentes aos lados da base” significa H=a. Então
H =raiz2,Rl(1-HHcr) Longrightarrow Hl(1+raiz2,RHcr)=raiz2,R
Como tanalpha=Hc/R, temos RHc=1tanalpha. Logo
H =raiz2,R1+raiz2tanalpha =raiz2,Rtanalphatanalpha+raiz2
E como a=H, obtivemos a e H em função de R e alpha.

Passo 4

A área total do prisma é
Srm tot =2cdot(área da base)+(área lateral) =2a^2+4(acdot H) =2a^2+4a^2 =6a^2 áá
Substituindo a=H,
Srm tot=6H^2 =6gl(raiz2,Rtanalphatanalpha+raiz2gr)^!2 =12,R^2tan^2alpha(tanalpha+raiz2)^2

Passo 5

Finalmente, para expressar em função de g e alpha, note que R=gcosalpha. Isso dá
Srm tot =12,(gcosalpha)^2tan^2alpha(tanalpha+raiz2)^2 =12,g^2sin^2alphacos^2alpha(sinalpha+raiz2cosalpha)^2

Resposta

boxed,Srm tot =12,g^2sin^2alphacos^2alpha(sinalpha+raiz2cosalpha)^2,

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