Em um cone cuja geratriz g forma com o plano da base um ângulo
, inscrevemos um prisma regular quadrangular; sendo as arestas laterais do prisma congruentes, determine a superfície total do prisma.
Passo 1
O enunciado diz que temos um cone de geratriz
que faz ângulo
com o plano da base. Nele está inscrito um prisma de base quadrangular regular (isto é, base é um quadrado de lado
) e arestas laterais congruentes ao lado da base (logo altura do prisma
). Precisamos encontrar a área total do prisma em função de
e
. Usaremos semelhança de triângulos para relacionar o raio da base do cone e a altura do prisma, e depois calculamos as áreas das faces do prisma.
Passo 2
Escolhendo um sistema de eixos com a base do cone no plano
e o vértice em
, a seção meridiana do cone satisfaz
onde
é o raio da base e
a altura do cone. Num prisma reto de altura
, a base é um quadrado de lado
e seus vértices têm coordenada radial
. Como os vértices superiores do prisma devem tocar a superfície lateral do cone ao nível
, impomos
Assim,
Passo 3
A condição “arestas laterais congruentes aos lados da base” significa
. Então
Como
, temos
. Logo
E como
, obtivemos
e
em função de
e
.
Passo 4
A área total do prisma é
Substituindo
,
Passo 5
Finalmente, para expressar em função de
e
, note que
. Isso dá