Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cone de revolução. 0 perímetro da base da pirâmide mede
. Calcule a altura do cone, sabendo que a sua geratriz tem o mesmo comprimento da diagonal da base.
Passo 1
O enunciado trata de geometria espacial: temos um cone de revolução e uma pirâmide quadrangular regular inscrita nele de modo que o vértice da pirâmide coincide com o vértice do cone e a base da pirâmide é um quadrado inscrito na base circular do cone. Sabemos que o perímetro do quadrado é
,cm e que a geratriz
do cone tem o mesmo comprimento da diagonal do quadrado. Vamos encontrar a altura
do cone usando:
. cálculo do lado e da diagonal do quadrado;
. relação entre diagonal do quadrado e o raio da base do cone;
. aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura do cone.
Passo 2
Do perímetro do quadrado temos lado
tal que
Passo 3
A diagonal
do quadrado vale
Passo 4
Como o quadrado está inscrito na base do cone, o círculo da base tem diâmetro igual a
, logo o raio do cone é
E pela condição do enunciado, a geratriz
do cone tem comprimento igual a
, portanto
Passo 5
No triângulo retângulo formado por geratriz
, raio
e altura
do cone, pelo Teorema de Pitágoras:
Resposta
A altura do cone é
,cm.