Uma pirâmide quadrangular regular está inscrita em um cone de revolução. 0 perímetro da base da pirâmide mede 20 raiz2 cm. Calcule a altura do cone, sabendo que a sua geratriz tem o mesmo comprimento da diagonal da base.

Passo 1

O enunciado trata de geometria espacial: temos um cone de revolução e uma pirâmide quadrangular regular inscrita nele de modo que o vértice da pirâmide coincide com o vértice do cone e a base da pirâmide é um quadrado inscrito na base circular do cone. Sabemos que o perímetro do quadrado é 20raiz2,cm e que a geratriz l do cone tem o mesmo comprimento da diagonal do quadrado. Vamos encontrar a altura h do cone usando:
1. cálculo do lado e da diagonal do quadrado;
2. relação entre diagonal do quadrado e o raio da base do cone;
3. aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura do cone.

Passo 2

Do perímetro do quadrado temos lado s tal que
4s = 20raiz2
s = 20raiz24 = 5raiz2

Passo 3

A diagonal d do quadrado vale
d = sraiz2 = 5raiz2,raiz2 = 10

Passo 4

Como o quadrado está inscrito na base do cone, o círculo da base tem diâmetro igual a d=10, logo o raio do cone é
R = d2 = 5
E pela condição do enunciado, a geratriz l do cone tem comprimento igual a d, portanto
l = 10

Passo 5

No triângulo retângulo formado por geratriz l, raio R e altura h do cone, pelo Teorema de Pitágoras:
h = raizl^2 - R^2 = raiz10^2 - 5^2 = raiz100 - 25 = raiz75 = 5raiz3

Resposta

A altura do cone é 5raiz3,cm.

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