Um cone reto tem por base um círculo circunscrito a um hexágono regular. 0 apótema do cone mede 53 do lado do hexágono regular e a soma da geratriz com esse lado é 16 m . Determine o apótema do cone e o lado do hexágono, bem como o volume da pirâmide que tem por base o hexágono regular e por vértice, o vértice do cone.

Passo 1

O enunciado descreve um cone reto cuja base é o círculo circunscrito a um hexágono regular de lado s. A geratriz (apótema) do cone, que chamaremos de g, satisfaz duas condições:
1. g=tfrac53,s.
2. g+s=16.
Para resolver precisamos usar essas duas relações, depois aplicar o teorema de Pitágoras para achar a altura do cone e, por fim, calcular o volume da pirâmide de base hexagonal e altura igual à do cone.

Passo 2

Da primeira relação temos
g=53,s
Substituindo em
g + s = 16
obtém-se
53,s + s =16 Longrightarrow 83,s=16 Longrightarrow s=16cdot38=6

Passo 3

Com s=6 m, da relação g=tfrac53,s vem
g=53cdot 6 =10 m

Passo 4

O raio da base do cone é o mesmo raio da circunferência circunscrita ao hexágono, ou seja
r=s=6 m
A altura h do cone sai do teorema de Pitágoras no triângulo formado por g, r e h:
h=raizg^2 - r^2 =raiz10^2 - 6^2 =raiz100 - 36 =8 m

Passo 5

A área de um hexágono regular de lado s é
Ahex =3raiz32,s^2 =3raiz32cdot 6^2 =54raiz3 m^2

Passo 6

O volume da pirâmide de base hexagonal e vértice no ápice do cone (altura h) é
V =13,Ahex,h =13cdot 54raiz3cdot 8 =144raiz3 m^3

Resposta

O apótema (geratriz) do cone é 10 m, o lado do hexágono é 6 m e o volume da pirâmide vale 144raiz3 m^3.

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