Um cone reto tem por base um círculo circunscrito a um hexágono regular. 0 apótema do cone mede
do lado do hexágono regular e a soma da geratriz com esse lado é 16 m . Determine o apótema do cone e o lado do hexágono, bem como o volume da pirâmide que tem por base o hexágono regular e por vértice, o vértice do cone.
Passo 1
O enunciado descreve um cone reto cuja base é o círculo circunscrito a um hexágono regular de lado
. A geratriz (apótema) do cone, que chamaremos de
, satisfaz duas condições:
.
.
.
.
Para resolver precisamos usar essas duas relações, depois aplicar o teorema de Pitágoras para achar a altura do cone e, por fim, calcular o volume da pirâmide de base hexagonal e altura igual à do cone.
Para resolver precisamos usar essas duas relações, depois aplicar o teorema de Pitágoras para achar a altura do cone e, por fim, calcular o volume da pirâmide de base hexagonal e altura igual à do cone.
Passo 2
Da primeira relação temos
Substituindo em
obtém-se
Passo 3
Com
m, da relação
vem
Passo 4
O raio da base do cone é o mesmo raio da circunferência circunscrita ao hexágono, ou seja
A altura
do cone sai do teorema de Pitágoras no triângulo formado por
,
e
:
Passo 5
A área de um hexágono regular de lado
é
Passo 6
O volume da pirâmide de base hexagonal e vértice no ápice do cone (altura
) é
Resposta
O apótema (geratriz) do cone é
m, o lado do hexágono é
m e o volume da pirâmide vale
.