Em um cone de geratriz g e altura
, inscrevemos um cilindro determinando um cone menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede a altura
de um cilindro inscrito em um cone de geratriz
e altura
, sob a condição de que a área lateral do cilindro seja igual à área lateral do cone menor que se forma acima do cilindro. Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos (entre o cone grande e o cone menor) e as fórmulas de área lateral de cilindro e de cone.
Passo 2
Seja
o raio da base do cone grande e
o raio da base do cilindro (que coincide com a base do cone menor). Pela semelhança entre o triângulo geratriz–altura do cone grande e o triângulo correspondente do cone menor (altura
), temos:
e a geratriz do cone menor vale
Passo 3
A área lateral do cilindro é
enquanto a área lateral do cone menor é
Igualando
e dividindo por
(não nulo), obtemos
Substituindo
dá
Passo 4
Agora basta resolver em
: