Em um cone de geratriz g e altura h, inscrevemos um cilindro determinando um cone menor cuja base coincide com uma base do cilindro. Obtenha a altura do cilindro, sabendo que a área lateral do cone menor é igual à área lateral do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede a altura H de um cilindro inscrito em um cone de geratriz g e altura h, sob a condição de que a área lateral do cilindro seja igual à área lateral do cone menor que se forma acima do cilindro. Para resolver, vamos usar semelhança de triângulos (entre o cone grande e o cone menor) e as fórmulas de área lateral de cilindro e de cone.

Passo 2

Seja R o raio da base do cone grande e r o raio da base do cilindro (que coincide com a base do cone menor). Pela semelhança entre o triângulo geratriz–altura do cone grande e o triângulo correspondente do cone menor (altura h-H), temos:
rR ;=;h - Hh Longrightarrow r = R,h - Hh
e a geratriz do cone menor vale
g' ;=; g,h - Hh

Passo 3

A área lateral do cilindro é
Acil = 2pi,r,H,
enquanto a área lateral do cone menor é
Acone = pi,r,g'
Igualando Acil = Acone e dividindo por pi,r (não nulo), obtemos
g' = 2H
Substituindo g' = g,h - Hh
g,h - Hh = 2H

Passo 4

Agora basta resolver em H:
g,(h - H) = 2H,h Longrightarrow g,h - g,H = 2h,H Longrightarrow g,h = H,(g + 2h) Longrightarrow H = g,hg + 2h

Resposta

H = g,hg + 2h

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