Em uma esfera inscreve-se um tetraedro regular e neste tetraedro regular inscreve-se uma nova esfera. Determine a relação entre as superfícies das esferas.

Passo 1

O enunciado fala que em uma esfera de raio R inscreve-se um tetraedro regular, e dentro desse tetraedro inscreve-se outra esfera de raio r. Precisamos encontrar a relação entre as superfícies dessas duas esferas. O conteúdo que vamos usar envolve as fórmulas de circunraio e inraio de um tetraedro regular e, por fim, a razão entre áreas de esferas.

Passo 2

Para um tetraedro regular de aresta a, o raio da esfera circunscrita (\emph{circunraio}) satisfaz
R = araiz64
Isolando a vem
a = 4Rraiz6

Passo 3

O raio da esfera inscrita no tetraedro (\emph{inraio}) é dado por
r = araiz612
Substituindo a = 4Rraiz6 obtemos
r = 4Rraiz6,cdotraiz612 = R3

Passo 4

As superfícies das esferas são
Sgrande = 4pi R^2
e
Spequena = 4pi r^2
Logo, a razão entre elas é
SpequenaSgrande = r^2R^2 = 19

Resposta

A superfície da esfera inscrita vale tfrac19 da superfície da esfera circunscrita.

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