Em uma esfera inscreve-se um tetraedro regular e neste tetraedro regular inscreve-se uma nova esfera. Determine a relação entre as superfícies das esferas.
Passo 1
O enunciado fala que em uma esfera de raio
inscreve-se um tetraedro regular, e dentro desse tetraedro inscreve-se outra esfera de raio
. Precisamos encontrar a relação entre as superfícies dessas duas esferas. O conteúdo que vamos usar envolve as fórmulas de circunraio e inraio de um tetraedro regular e, por fim, a razão entre áreas de esferas.
Passo 2
Para um tetraedro regular de aresta
, o raio da esfera circunscrita (\emph{circunraio}) satisfaz
Isolando
vem
Passo 3
O raio da esfera inscrita no tetraedro (\emph{inraio}) é dado por
Substituindo
obtemos
Passo 4
As superfícies das esferas são
e
Logo, a razão entre elas é
Resposta
A superfície da esfera inscrita vale
da superfície da esfera circunscrita.