Determine a área lateral e o volume de um cone circunscrito a uma pirâmide, sabendo que a altura da pirâmide de base quadrada é o triplo do lado da base e que o lado da base mede a.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base quadrada de lado a e altura 3a. Queremos o cone que tem o mesmo vértice e cuja base é o círculo circunscrito à base quadrada da pirâmide. Usaremos as fórmulas do cone: área lateral Alat=pi R,l e volume V=tfrac13pi R^2h, onde R é o raio da base, h a altura e l a geratriz (slant height).

Passo 2

Encontrar o raio R do círculo que circunscreve o quadrado de lado a. A diagonal do quadrado vale araiz2, logo
R = diagonal2 = araiz22

Passo 3

A altura do cone é a mesma da pirâmide, portanto
h = 3a

Passo 4

Calcular a geratriz l do cone pela relação de Pitágoras no triângulo geratriz–altura–raio:
l = raizh^2 + R^2 = raiz(3a)^2 + l(araiz22r)^2 = raiz9a^2 + a^22 = araiz192 = araiz382

Passo 5

Calcular a área lateral do cone:
Alat = pi,R,l = pi ,araiz22,araiz382 = pi,a^2,raiz764 = pi,a^2,(2raiz19)4 = pi,a^2raiz192

Passo 6

Calcular o volume do cone:
V = 13,pi,R^2,h = 13,pi,a^22,(3a) = pi,a^32

Resposta

A área lateral do cone é
Alat = pi,a^2raiz192,
e o volume do cone é
V = pi,a^32

Exercícios de Livros Relacionados