Em um cone de revolução inscrevemos um cilindro cuja altura é igual ao raio da base do cone. Determine o ângulo que o eixo do cone e sua geratriz formam, sabendo que a superfície total do cilindro e a área da base do cone estão entre si como 32.

Passo 1

O enunciado dá um cone circular reto de raio da base R e altura H e inscreve-se nesse cone um cilindro de altura igual a R. Pede-se o ângulo theta entre o eixo do cone e sua geratriz, sabendo que a área total do cilindro e a área da base do cone mantêm a proporção 3:2. Vamos usar semelhança de triângulos para achar o raio do cilindro e depois trigonometria para encontrar theta.

Passo 2

No cone, a seção transversal a uma distância z da base tem raio proporcional a 1 - z/H. Como o cilindro tem altura R e encosta na base do cone, seu raio r satisfaz
r = Rl(1 - tfracRHr)

Passo 3

A área total do cilindro é
Scil = 2pi rR + 2pi r^2
e a área da base do cone é
Abase = pi R^2
Pela proporção
ScilAbase = 32
temos
2pi rR + 2pi r^2 = 32pi R^2
Dividindo ambos os lados por pi R^2 e definindo x = tfracrR obtemos
4x + 4x^2 = 3
daí
x = 12
Logo
r = R2

Passo 4

Igualando as expressões de r vem
R2 = Rl(1 - tfracRHr)
isto implica
1 - tfracRH = 12
e
H = 2R

Passo 5

A geratriz do cone tem comprimento
L = raizR^2 + H^2 = Rraiz5
O ângulo theta entre o eixo (vertical) e a geratriz satisfaz
tantheta = RH = 12
Portanto
theta = arctan12

Resposta

theta = arctan12approx 26,6^circ

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