Em um cone de revolução inscrevemos um cilindro cuja altura é igual ao raio da base do cone. Determine o ângulo que o eixo do cone e sua geratriz formam, sabendo que a superfície total do cilindro e a área da base do cone estão entre si como
.
Passo 1
O enunciado dá um cone circular reto de raio da base
e altura
e inscreve-se nesse cone um cilindro de altura igual a
. Pede-se o ângulo
entre o eixo do cone e sua geratriz, sabendo que a área total do cilindro e a área da base do cone mantêm a proporção
. Vamos usar semelhança de triângulos para achar o raio do cilindro e depois trigonometria para encontrar
.
Passo 2
No cone, a seção transversal a uma distância
da base tem raio proporcional a
. Como o cilindro tem altura
e encosta na base do cone, seu raio
satisfaz
Passo 3
A área total do cilindro é
e a área da base do cone é
Pela proporção
temos
Dividindo ambos os lados por
e definindo
obtemos
daí
Logo
Passo 4
Igualando as expressões de
vem
isto implica
e
Passo 5
A geratriz do cone tem comprimento
O ângulo
entre o eixo (vertical) e a geratriz satisfaz
Portanto