Determine a diagonal de um cubo circunscrito a uma esfera na qual uma cunha de 60^circ tem área total igual a 60 pi cm^2.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio r circunscrita por um cubo, e que uma cunha esférica de ângulo central 60^circ tem área igual a 60pi,cm ^2. Vamos usar a fórmula da área de uma cunha esférica (somente a parte da superfície esférica), que vale
Acunha ;=; 2,alpha,r^2,
sendo alpha o ângulo em radianos.

Passo 2

Convertendo 60^circ para radianos, alpha = pi/3. Substituindo em
Acunha ;=; 2,pi3,r^2
e igualando a 60pi, temos
2,pi3,r^2 ;=; 60pi Longrightarrow 23,r^2 ;=; 60 Longrightarrow r^2 = 90 Longrightarrow r = raiz90 = 3raiz10

Passo 3

Como o cubo é circunscrito, a aresta do cubo vale
a = 2r = 2cdot(3raiz10) = 6raiz10

Passo 4

A diagonal espacial do cubo é dada por
d = araiz3 = (6raiz10)raiz3 = 6raiz30

Resposta

6raiz30,cm

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