Um cone tem 320 pi m^2 de área total e 12 m de altura. Calcule o volume e a área lateral do tronco obtido pela seção desse cone por um plano paralelo à base e distante 9 m dessa base.

Passo 1

Resumindo, temos um cone de altura 12 m e área total
pi R^2+pi R,l=320pi,
onde R é o raio da base e l a geratriz. Para resolver precisamos de:
  1. A relação l=raizR^2+12^2.
  2. A semelhança de cones para achar o raio r do cone menor (altura 3 m).
  3. A fórmula do volume de tronco de cone
V=pi h3l(R^2+Rr+r^2r),
onde h=9 m.
4. A fórmula da área lateral de tronco
Alat=pi(R+r),s,
com s sendo a geratriz do tronco.

Passo 2

Do balanço da área total do cone original:
R^2+RraizR^2+144=320
Elevando ao quadrado e simplificando, encontra-se
R^2=640049, R=807, l=raizR^2+144=1167

Passo 3

O corte a 9 m da base deixa um cone menor de altura 12-9=3 m. Pela semelhança,
r=R312=807cdot312=207
O volume do tronco (altura h=9) é
V=picdot93l(R^2+Rr+r^2r) =3pil(6400+1600+40049r) =3600pi7,m^3

Passo 4

A geratriz do tronco vale
s=raiz9^2+(R-r)^2 =raiz81+l(607r)^2 =877
Logo a área lateral do tronco é
Alat=pi(R+r)s =picdot1007cdot877 =8700pi49,m^2

Resposta

Volume do tronco: 3600pi7,m^3
Área lateral do tronco: 8700pi49,m^2

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