Determine o volume de um tronco de pirâmide de 279 raiz3 cm^2 de superfície total, sendo as bases hexágonos regulares de 9 cm e 3 cm de lado, respectivamente.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular cujas bases são hexágonos regulares de lados a1=9,cm e a2=3,cm, e cuja área total é
Stotal=279raiz3,cm^2
Conteúdos necessários:
1. Área de hexágono regular A=3raiz32,a^2.
2. Área lateral de tronco de pirâmide regular:
L=12(P1+P2),m,
once Pi é o perímetro da base i e m é a “altura lateral” (distância entre arestas paralelas).
3. Relação entre m e a altura vertical h.
4. Fórmula do volume de tronco de pirâmide:
V=h3l(A1 + A2 + raizA1A2r)

Passo 2

Calculamos primeiro as áreas das bases:
A1=3raiz32,a1^2 =3raiz32cdot9^2 =243raiz32,cm^2,
A2=3raiz32,a2^2 =3raiz32cdot3^2 =27raiz32,cm^2
A soma das áreas das bases é
A1+A2 =243raiz32+27raiz32 =270raiz32 =135raiz3,cm^2
Como a área total Stotal=A1+A2+L, a área lateral vale
L =279raiz3-135raiz3 =144raiz3,cm^2

Passo 3

O perímetro de cada base é P1=6a1=54,cm e P2=6a2=18,cm. Na fórmula da área lateral do tronco:
L=12(P1+P2),m =12(54+18),m =36,m
Logo
36,m=144raiz3 Longrightarrow m=4raiz3,cm,
once m é a altura lateral (distância entre arestas paralelas nas faces trapezoidais).

Passo 4

Para relacionar m com a altura vertical h do tronco, considere uma aresta de cada base paralela e faça a distância entre essas duas arestas no espaço 3D. Usando o cálculo da distância entre retas paralelas em 3D (ou projetando deslocamento vertical h e horizontal constante de 6,cm), obtém‐se
m=raizh^2 + 6^2l|sin(60^circ)r|^21 =raizh^2+27
Como m=4raiz3,
4raiz3=raizh^2+27 Longrightarrow h^2+27=48 Longrightarrow h=raiz21,cm

Passo 5

Finalmente, o volume do tronco de pirâmide é
V =h3l(A1 + A2 + raizA1A2r)
Já temos A1+A2=135raiz3 e
raizA1A2 =raiz243raiz32cdot27raiz32 =81raiz32
Então
A1+A2+raizA1A2 =135raiz3+81raiz32 =270raiz3+81raiz32 =351raiz32
Logo
V =raiz213cdot351raiz32 =3516raiz63 =3516cdot3raiz7 =351raiz72,cm^3

Resposta

V=351raiz72,cm^3

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