Os raios das bases de um tronco de cone medem 20 cm e 10 cm , sendo que a geratriz forma com o plano da base maior um ângulo de 45^circ. Determine o volume do tronco de cone.

Passo 1

O enunciado dá um tronco de cone com raio da base maior R=20 cm e raio da base menor r=10 cm. A geratriz do tronco forma um ângulo de 45^circ com o plano da base maior. Para achar o volume, primeiro vamos usar trigonometria no triângulo formado pela geratriz g, a diferença de raios (R-r) e a altura h. Depois aplicamos a fórmula do volume de um tronco de cone.

Passo 2

No triângulo reto projeção-horizontal–geratriz, a projeção horizontal de g é justamente a diferença de raios De<a R=R-r. Como o ângulo entre g e o plano é 45^circ, vale
gcos45^circ = R - r = 20 - 10 = 10
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g = 10cos45^circ = 10tfracraiz22 = 10raiz2 cm

Passo 3

A altura h do tronco vem da projeção vertical de g, ou seja
h = gsin45^circ = 10raiz2cdotraiz22 = 10 cm

Passo 4

A fórmula do volume de um tronco de cone é
V = 13,pi,h,(R^2 + R,r + r^2)
Substituindo h=10, R=20 e r=10
V = 13,picdot10,(20^2 + 20cdot10 + 10^2) = 10pi3,(400 + 200 + 100) = 10pi3cdot700

Passo 5

Simplificando,
V = 7000pi3 cm^3

Resposta

7000pi3 cm^3

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