Use a indução matemática para demonstrar o Teorema 1 da Seção 3.6 , ou seja, mostre que se b for um número inteiro positivo, b>1, e n for um número inteiro positivo, então n pode ser expresso unicamente na forma n=a_{k} b^{k}+a_{k-1} b^{k-1} +\cdots+a_{1} b+a_{0}.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que dado um inteiro base b>1 e um inteiro positivo n, existe uma única sequência de dígitos
a_k,a_{k-1},\dots,a_1,a_0
com 0\le a_i\le b-1 e a_k\neq0 tal que
n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0.
O método envolvido é o Princípio de Indução Matemática combinado com o Algoritmo da Divisão Euclidiana.

Passo 2

Base da indução n=1.
Para n=1 basta escolher k=0 e a_0=1. De fato,
1 = a_0 = 1\cdot b^0
e como 0\le1\le b-1 (pois b>1) temos a existência. A unicidade é evidente: não há outra forma de escrever 1 em potência de b.

Passo 3

Passo indutivo – existência.
Suponha que todo inteiro m com 1\le m\le n admita uma expansão única
m = a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0.
Queremos mostrar que n+1 também admite expansão. Aplicando o Algoritmo da Divisão a n+1 por b, existem inteiros q e r tais que
n+1 = bq + r,
com 0\le r\le b-1 e 0\le q < n+1. Como q\le n, pela hipótese de indução q tem expansão única
q = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0.
Multiplicando por b e somando r obtemos
n+1 = bq + r = a_k b^{k+1} + a_{k-1} b^k + \cdots + a_1 b^2 + a_0 b + r,
onde 0\le r\le b-1. Assim definimos o dígito menos significativo de n+1 como a_0'=r e os demais como a_i'=a_{i-1}. Isso dá a existência da escrita em base b.

Passo 4

Passo indutivo – unicidade.
Suponha que
n = a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0 = c_m b^m + \cdots + c_1 b + c_0
são duas expansões com a_k\neq0, c_m\neq0 e todos a_i,c_j\in\{0,1,\dots,b-1\}. Se k<m então
a_k b^k + \cdots + a_0 < b^m \le c_m b^m + \cdots + c_0,
contradição; logo k=m. Tomando restos módulo b segue a_0=c_0. Então
\frac{n-a_0}{b} = a_k b^{k-1} + \cdots + a_1 = c_k b^{k-1} + \cdots + c_1.
Pela hipótese de unicidade para \bigl(n-a_0\bigr)/b<n, concluímos a_i=c_i para todo i. Assim a expansão é única.

Resposta

Foi demonstrado, por indução em n, que todo inteiro positivo n tem uma única escrita na forma
n = a_k b^k + a_{k-1} b^{k-1} + \cdots + a_1 b + a_0,
com b>1 inteiro, 0\le a_i\le b-1 e a_k\neq0.

Exercícios de Livros Relacionados