Use a indução matemática para demonstrar o Teorema 1 da Seção 3.6 , ou seja, mostre que se
for um número inteiro positivo,
, e
for um número inteiro positivo, então
pode ser expresso unicamente na forma
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que dado um inteiro base
e um inteiro positivo
, existe uma única sequência de dígitos
com
e
tal que
O método envolvido é o Princípio de Indução Matemática combinado com o Algoritmo da Divisão Euclidiana.
Passo 2
Base da indução
.
Para basta escolher
e
. De fato,
Para
e como
(pois
) temos a existência. A unicidade é evidente: não há outra forma de escrever 1 em potência de
.
Passo 3
Passo indutivo – existência.
Suponha que todo inteiro com
admita uma expansão única
Suponha que todo inteiro
Queremos mostrar que
também admite expansão. Aplicando o Algoritmo da Divisão a
por
, existem inteiros
e
tais que
com
e
. Como
, pela hipótese de indução
tem expansão única
Multiplicando por
e somando
obtemos
onde
. Assim definimos o dígito menos significativo de
como
e os demais como
. Isso dá a existência da escrita em base
.
Passo 4
Passo indutivo – unicidade.
Suponha que
Suponha que
são duas expansões com
,
e todos
. Se
então
contradição; logo
. Tomando restos módulo
segue
. Então
Pela hipótese de unicidade para
, concluímos
para todo
. Assim a expansão é única.
Resposta
Foi demonstrado, por indução em
, que todo inteiro positivo
tem uma única escrita na forma
com
inteiro,
e
.