Um conjunto de dados possui n valores ( n>3 ), dos quais três são iguais a 2 e os demais iguais a 5 .
a) Determine, em função de n, a média aritmética desses elementos.
b) Determine o maior valor inteiro de n para o qual a variância desse conjunto de valores seja maior que 2.

Passo 1

O enunciado diz que temos n observações (com n>3), sendo três iguais a 2 e as outras n-3 iguais a 5. Precisamos encontrar a média aritmética desse conjunto e, em seguida, a variância populacional, para então determinar o maior valor inteiro de n que torne essa variância maior que 2.

Passo 2

A média aritmética bar x é o somatório dos valores dividido por n. Aqui o somatório é
3cdot 2 + (n-3)cdot 5 = 6 + 5n - 15 = 5n -9
Logo,
bar x = 5n - 9n

Passo 3

A variância populacional é definida por
sigma^2 = 1nsumi=1^n (xi - bar x)^2
Neste caso há dois grupos de desvios: três elementos com xi=2 e n-3 elementos com xi=5.

Passo 4

Calculemos os desvios:
2 - bar x = 2 - 5n-9n = 9-3nn, 5 - bar x = 5 - 5n-9n = 9n
Então
sum (xi - bar x)^2 = 3l(9-3nnr)^2 + (n-3)l(9nr)^2 = 27(n-3)^2 + 81(n-3)n^2 = 27n(n-3)n^2
Assim
sigma^2 = 1ncdot27n(n-3)n^2 = 27(n-3)n^2

Passo 5

Para que sigma^2>2, basta resolver
27(n-3)n^2 > 2 Long<=ftrightarrow 27(n-3) > 2n^2 Long<=ftrightarrow 2n^2 - 27n + 81 < 0
O polinômio 2n^2 - 27n +81 tem raízes
n = 27pmraiz27^2 - 4cdot2cdot812cdot2 = 27pm94,
isto é, n=4,5 e n=9. Como o coeficiente de n^2 é positivo, a desigualdade é satisfeita para 4,5 < n < 9. Entre valores inteiros maiores que 3, isso dá n=5,6,7,8. O maior deles é 8.

Resposta

a) bar x = 5n - 9n
b) O maior valor inteiro de n com variância maior que 2 é 8.

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