A média aritmética dos números x1, x2, ldots, xn é p. Determine a média aritmética dos números x1-1, x2-1, x3-1, x4-1, ldots, xn+(-1)^n, considerando que:
a) n é par;
b) n é ímpar.

Passo 1

O enunciado diz que a média aritmética dos números x1,x2,dots,xn é p. Logo, se chamarmos
S = x1 + x2 + cdots + xn,
temos
S = n,p
Queremos a média dos números
x1-1,;x2-1,;dots,;xn-1-1,;xn+(-1)^n
O conteúdo envolve usar a linearidade da soma e da média.

Passo 2

Chamemos de ci o valor que somamos a xi, isto é,
ci = -1, & i=1,2,dots,n-1, (-1)^n, & i=n
Então a soma dos novos termos é
S' = sumi=1^n l(xi + cir) = sumi=1^n xi ;+;sumi=1^n ci = S ;+;sumi=1^n ci

Passo 3

Calculemos sumi=1^n ci. Como há n-1 termos iguais a -1 e um termo igual a (-1)^n,
sumi=1^n ci = -(n-1) + (-1)^n

Passo 4

Caso n seja par, temos (-1)^n=1. Então
sumi=1^n ci = -(n-1) + 1 = 2-n,
e
S' = S + (2-n) = n,p + 2 - n = n(p-1) + 2
A média dos novos n termos é
S'n = n(p-1) + 2n = p - 1 + 2n

Passo 5

Caso n seja ímpar, temos (-1)^n=-1. Então
sumi=1^n ci = -(n-1) - 1 = -n,
e
S' = S - n = n,p - n = n(p-1)
A média dos novos n termos é
S'n = p - 1

Resposta

a) Se n é par, a média é
p - 1 + 2n
b) Se n é ímpar, a média é
p - 1

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