[50] Quais dos conjuntos abaixo é convexo?
(a) (x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0 e x^2+y^2 <= 1.
(b) (x, y) in R^2 mid x >= 0 e y >= 0.
(c) (x, y) in R^2 mid x >= 0, y >= 0 e x+y=1.
(d) (x, y) in R^2 mid x^2+y^2<1.
(e) (x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1.
(f) (x, y) in R^2 mid x^2+y^2=1.
(g) (x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= 0, z >= 0 e x+y+z <= 1.
(h) (x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= 0 e z <= x^2+y^2.
(i) (x, y, z) in R^3 mid x >= 0, y >= 0, z >= 0, x <= 1, y <= 1 e z <= 1.

Passo 1

O enunciado nos dá vários subconjuntos de R^2 ou R^3 e pede para identificar quais são convexos. Vamos usar a definição de conjunto convexo e as propriedades de interseções de conjuntos convexos, de bolas (abertas e fechadas), de segmentos e de níveis de funções convexas.

Passo 2

Lembrando que um conjunto C é convexo se, para quaisquer u,vin C e todo tin[0,1], o ponto
tu + (1-t)v
também pertence a C. As propriedades que usaremos incluem:
– A interseção de conjuntos convexos é convexa.
– Qualquer semiespaço definido por uma desigualdade linear é convexo.
– A bola aberta xmid|x|<r e a bola fechada xmid|x|<= r são convexas.
– Um segmento de reta é convexo.
– Se f é convexa, seu epígrafo (x,z)mid z>= f(x) é convexo, mas seu hipotálamo (x,z)mid z<= f(x) geralmente não é.

Passo 3

Conjuntos definidos como interseção de semiespaços ou segmentos:
– No item (a) temos x>=0,;y>=0 e x^2+y^2<=1. Cada um é convexo, logo a interseção é convexa.
– Em (b) x>=0,;y>=0 é interseção de semiespaços lineares, convexo.
– Em (c) x>=0,;y>=0,;x+y=1 é exatamente o segmento de (0,1) a (1,0), que é convexo.
– Em (g) x,y,z>=0,;x+y+z<=1 é o simplex padrão em R^3, convexo.
– Em (i) 0<= x,y,z<=1 é um paralelepípedo (caixa) fechado, convexo.

Passo 4

Conjuntos bolísticos:
– Em (d) x^2+y^2<1 é a bola aberta de raio 1 em R^2. Para quaisquer |u|<1 e |v|<1, temos
|tu + (1-t)v|<= t|u|+(1-t)|v|<1,
então o segmento fica inteiro dentro da bola, provando convexidade.
– Em (e) x^2+y^2<=1 é a bola fechada de raio 1, também convexa.

Passo 5

O item (f) é x^2+y^2=1, a circunferência unitária. Se escolhermos dois pontos distintos na circunferência, o segmento entre eles entra no interior da bola (onde x^2+y^2<1), saindo da circunferência. Logo não é convexo.

Passo 6

O item (h) é x,y>=0,;z<= x^2+y^2, o hipotálamo de f(x,y)=x^2+y^2. Como f é convexa, seu hipotálamo não precisa ser convexo. Por exemplo, (1,0,1) e (0,1,1) satisfazem z<= x^2+y^2, mas o ponto médio
l(tfrac12,tfrac12,1r) tem
tfrac12^2+tfrac12^2=tfrac12<1
e portanto falha em z<= x^2+y^2. Assim, (h) não é convexo.

Resposta

Os conjuntos convexos são (a), (b), (c), (d), (e), (g) e (i).

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