[50] Quais dos conjuntos abaixo é convexo?
(a)
e
.
(b)
e
.
(c)
e
.
(d)
.
(e)
.
(f)
.
(g)
e
.
(h)
e
.
(i)
e
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
O enunciado nos dá vários subconjuntos de
ou
e pede para identificar quais são convexos. Vamos usar a definição de conjunto convexo e as propriedades de interseções de conjuntos convexos, de bolas (abertas e fechadas), de segmentos e de níveis de funções convexas.
Passo 2
Lembrando que um conjunto
é convexo se, para quaisquer
e todo
, o ponto
também pertence a
. As propriedades que usaremos incluem:
– A interseção de conjuntos convexos é convexa.
– Qualquer semiespaço definido por uma desigualdade linear é convexo.
– A bola aberta e a bola fechada
são convexas.
– Um segmento de reta é convexo.
– Se é convexa, seu epígrafo
é convexo, mas seu hipotálamo
geralmente não é.
– A interseção de conjuntos convexos é convexa.
– Qualquer semiespaço definido por uma desigualdade linear é convexo.
– A bola aberta
– Um segmento de reta é convexo.
– Se
Passo 3
Conjuntos definidos como interseção de semiespaços ou segmentos:
– No item (a) temos e
. Cada um é convexo, logo a interseção é convexa.
– Em (b) é interseção de semiespaços lineares, convexo.
– Em (c) é exatamente o segmento de
a
, que é convexo.
– Em (g) é o simplex padrão em
, convexo.
– Em (i) é um paralelepípedo (caixa) fechado, convexo.
– No item (a) temos
– Em (b)
– Em (c)
– Em (g)
– Em (i)
Passo 4
Conjuntos bolísticos:
– Em (d) é a bola aberta de raio 1 em
. Para quaisquer
e
, temos
– Em (d)
então o segmento fica inteiro dentro da bola, provando convexidade.
– Em (e) é a bola fechada de raio 1, também convexa.
– Em (e)
Passo 5
O item (f) é
, a circunferência unitária. Se escolhermos dois pontos distintos na circunferência, o segmento entre eles entra no interior da bola (onde
), saindo da circunferência. Logo não é convexo.
Passo 6
O item (h) é
, o hipotálamo de
. Como
é convexa, seu hipotálamo não precisa ser convexo. Por exemplo,
e
satisfazem
, mas o ponto médio
tem
e portanto falha em
. Assim, (h) não é convexo.
Resposta
Os conjuntos convexos são (a), (b), (c), (d), (e), (g) e (i).