[46] Suponha que z=f(x, y) possua derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas para todo (x, y) in R^2 e que f seja harmônica:
partial^2 fpartial x^2(x, y)+partial^2 fpartial y^2(x, y)=0, para todo (x, y) in R^2
Assuma também que (partial^2 f / partial x^2)(x0, y0) neq 0. Mostre que f não pode possuir um máximo ou um mínimo local em ( x0, y0 ).

Passo 1

O enunciado diz que f:R^2toR é harmônica, ou seja
partial^2 fpartial x^2(x,y)+partial^2 fpartial y^2(x,y)=0
para todo (x,y), e que
partial^2 fpartial x^2(x0,y0)neq0
Precisamos mostrar que em (x0,y0) não há nem máximo nem mínimo local.

Passo 2

Se f tivesse um extremo local em (x0,y0), então as derivadas parciais de primeira ordem se anulam ali:
fx(x0,y0)=0 e fy(x0,y0)=0
Além disso, o teste da segunda derivada em duas variáveis diz que, definindo a matriz Hessiana
H = fxx(x0,y0) & fxy(x0,y0) fyx(x0,y0) & fyy(x0,y0) ,
temos:
  • Se H for definida positiva implies mínimo local.
  • Se H for definida negativa implies máximo local.
  • Se det H<0 implies ponto de sela (nenhum extremo).

Passo 3

Calculemos det H. Como fxy=fyx,
det H = fxx(x0,y0),fyy(x0,y0) - l(fxy(x0,y0)r)^2
Pela condição de harmonicidade em (x0,y0) temos
fxx(x0,y0)+fyy(x0,y0)=0 Longrightarrow fyy(x0,y0)=-,fxx(x0,y0)
Substituindo na expressão do determinante,
det H = fxx(x0,y0),l[-fxx(x0,y0)r] - l(fxy(x0,y0)r)^2 = -l[fxx(x0,y0)r]^2 - l[fxy(x0,y0)r]^2

Passo 4

Como l[fxx(x0,y0)r]^2>=0 e l[fxy(x0,y0)r]^2>=0 e ao menos um dos dois termos é estritamente positivo (pois fxx(x0,y0)neq0), segue
det H<0
Logo, a Hessiana é indefinida e (x0,y0) é ponto de sela, não sendo nem máximo nem mínimo local.

Resposta

f não pode possuir um máximo nem um mínimo local em l(x0,y0r).

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