[46] Suponha que
possua derivadas parciais de primeira e segunda ordem contínuas para todo
e que
seja harmônica:
Assuma também que
. Mostre que
não pode possuir um máximo ou um mínimo local em (
).
Passo 1
O enunciado diz que
é harmônica, ou seja
para todo
, e que
Precisamos mostrar que em
não há nem máximo nem mínimo local.
Passo 2
Se
tivesse um extremo local em
, então as derivadas parciais de primeira ordem se anulam ali:
Além disso, o teste da segunda derivada em duas variáveis diz que, definindo a matriz Hessiana
temos:
- Se
for definida positiva mínimo local. - Se
for definida negativa máximo local. - Se
ponto de sela (nenhum extremo).
Passo 3
Calculemos
. Como
,
Pela condição de harmonicidade em
temos
Substituindo na expressão do determinante,
Passo 4
Como
e
e ao menos um dos dois termos é estritamente positivo (pois
), segue
Logo, a Hessiana é indefinida e
é ponto de sela, não sendo nem máximo nem mínimo local.