Considere que ABCD é um quadrilátero ao mesmo tempo inscritível e circunscritível, de modo que \mathrm{AB}=3, \mathrm{BC}=2 e \mathrm{CD}=3. Calcule o valor do raio da circunferência inscrita no quadrilátero ABCD .

Passo 1

O enunciado trata de um quadrilátero ABCD que é simultaneamente inscritível (cíclico) e circunscritível (tangencial). Sabemos AB=3, BC=2 e CD=3, e queremos o raio r da circunferência inscrita. Para resolver, vamos usar:
  1. A condição de tangencial (Pitot): AB+CD=BC+DA.
  2. A fórmula de Brahmagupta para área de quadrilátero cíclico:
A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.
  1. A relação entre área e inradius em quadrilátero tangencial:
A = r\,s,
onde s é o semiperímetro.

Passo 2

Pela condição de tangencial (Pitot), as somas de lados opostos coincidem:
AB + CD \;=\; BC + DA.
Substituindo AB=3, BC=2 e CD=3, vem
3 + 3 = 2 + DA \quad\Longrightarrow\quad DA = 6 - 2 = 4.

Passo 3

Calculemos o semiperímetro
s = \frac{AB + BC + CD + DA}{2} = \frac{3 + 2 + 3 + 4}{2} = 6.
Então
s - a = 6 - 3 = 3,\quad s - b = 6 - 2 = 4,\quad s - c = 6 - 3 = 3,\quad s - d = 6 - 4 = 2.
Pela fórmula de Brahmagupta, a área é
A = \sqrt{3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.

Passo 4

Como o quadrilátero é tangencial, vale A = r\,s. Logo
r = \frac{A}{s} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}.

Resposta

\displaystyle r = \sqrt{2}.

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