(IME-76/77) Seja ABCD um quadrilátero convexo. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos
e D , que denominam respectivamente
e
e que determinam os pontos
;
. Prove que: 1)
quadrilátero MNPQ é inscritível; 2) As retas AB, CD e NQ são concorrentes em um ponto
, bem como as retas AD, BC, e NQ em um outro ponto V.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um quadrilátero convexo
. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos em
, chamando essas retas de
. Destes cortes definem-se:
Precisa-se mostrar:
) O quadrilátero
é cíclico (inscritível).
) As retas
,
e
concurrem num ponto
, e as retas
,
e
concurrem num ponto
.
Precisa-se mostrar:
Conteúdo projetado: propriedades de interseção de bissetrizes (ângulo entre bissetrizes e soma de ângulos) para provar ciclicidade, e teorema do ângulo inscrito (ou bissetriz) para a concorrência.
Passo 2
(Prova de ciclicidade)
Vamos calcular as medidas dos ângulos em e em
do quadrilátero
.
Vamos calcular as medidas dos ângulos em
- No ponto
, as retas que formam o ângulo interno de são e . Essas são as bissetrizes internas de e de . Em todo quadrilátero convexo vale
E o fato clássico sobre bissetrizes diz que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes num quadrilátero convexo é
Portanto
Passo 3
Ainda para a ciclicidade, calculamos o ângulo oposto em
. As arestas do quadrilátero em
são
e
, bissetrizes de
e
. Pelo mesmo argumento,
Passo 4
Agora somamos os dois ângulos opostos de
:
Mas
, logo
Em geometria de ângulos dirigidos (mod
) isso dá soma
. Concluímos que os ângulos opostos somam
, logo
é cíclico.
Passo 5
(Prova de concorrência em
)
Sejam (linhas estendidas). Vamos mostrar que
fica sobre
. Note que:
.
é a interseção das bissetrizes de
e
.
.
é a interseção das bissetrizes de
e
.
Sejam
No ponto
, as retas
e
formam o ângulo suplementar de
. Como
está na bissetriz interna de
, temos que
divide ao meio esse ângulo em
. Analogamente,
está na bissetriz de
, e em
as retas
e
formam exatamente o ângulo suplementar de
. Logo
é bissetriz desse ângulo. Mas
implica que
suplementar
suplementar. Assim, em
, a bissetriz de
e a bissetriz de
coincidem: ambas são a reta
. Portanto
passa por
. Assim
,
e
concurs em
.
Passo 6
(Prova de concorrência em
)
O mesmo raciocínio vale para as retas ,
e a reta que conecta os pontos de interseção das bissetrizes de
(que é
) e das de
(que é
). Sejam
. Então em
as retas formam ângulos suplementares de
e de
. A bissetriz interna de cada um desses pares de ângulos em
é justamente a reta
. Logo
também passa por
. Portanto
,
e
concorrem em
.
O mesmo raciocínio vale para as retas