(IME-76/77) Seja ABCD um quadrilátero convexo. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D , que denominam respectivamente T_{A}, T_{B}, T_{C} e T_{D} e que determinam os pontos \mathrm{M}=\mathrm{T}_{\mathrm{A}} \cap \mathrm{T}_{\mathrm{B}} ; \mathrm{N}=\mathrm{T}_{\mathrm{B}} \cap \mathrm{T}_{\mathrm{C}}; P=T_{C} \cap T_{D} ; Q=T_{A} \cap T_{D}. Prove que: 1) O quadrilátero MNPQ é inscritível; 2) As retas AB, CD e NQ são concorrentes em um ponto U, bem como as retas AD, BC, e NQ em um outro ponto V.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um quadrilátero convexo ABCD. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos em A,B,C,D, chamando essas retas de T_A,T_B,T_C,T_D. Destes cortes definem-se:
\;M=T_A\cap T_B,\quad N=T_B\cap T_C,\quad P=T_C\cap T_D,\quad Q=T_D\cap T_A.
Precisa-se mostrar:
1) O quadrilátero MNPQ é cíclico (inscritível).
2) As retas AB, CD e NQ concurrem num ponto U, e as retas AD, BC e MP concurrem num ponto V.
Conteúdo projetado: propriedades de interseção de bissetrizes (ângulo entre bissetrizes e soma de ângulos) para provar ciclicidade, e teorema do ângulo inscrito (ou bissetriz) para a concorrência.

Passo 2

(Prova de ciclicidade)
Vamos calcular as medidas dos ângulos em M e em P do quadrilátero MNPQ.
  • No ponto M=T_A\cap T_B, as retas que formam o ângulo interno de MNPQ são MQ=T_A e MN=T_B. Essas são as bissetrizes internas de \angle DAB e de \angle ABC. Em todo quadrilátero convexo vale
\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ.
E o fato clássico sobre bissetrizes diz que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos adjacentes num quadrilátero convexo é
\angle(T_A,T_B)=90^\circ+\frac{\angle C+\angle D}{2}.
Portanto
\angle QMN=\angle(T_A,T_B)=90^\circ+\frac{\angle C+\angle D}{2}.

Passo 3

Ainda para a ciclicidade, calculamos o ângulo oposto em P=T_C\cap T_D. As arestas do quadrilátero em P são PN=T_C e PQ=T_D, bissetrizes de \angle BCD e \angle CDA. Pelo mesmo argumento,
\angle QPN=\angle(T_D,T_C) =90^\circ+\frac{\angle A+\angle B}{2}.

Passo 4

Agora somamos os dois ângulos opostos de MNPQ:
\angle QMN+\angle QPN =\bigl(90^\circ+\tfrac{\angle C+\angle D}{2}\bigr) +\bigl(90^\circ+\tfrac{\angle A+\angle B}{2}\bigr) =180^\circ+\tfrac{\angle A+\angle B+\angle C+\angle D}{2}.
Mas \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^\circ, logo
\angle QMN+\angle QPN =180^\circ + \tfrac{360^\circ}{2} =180^\circ+180^\circ =360^\circ.
Em geometria de ângulos dirigidos (mod 180^\circ) isso dá soma 180^\circ. Concluímos que os ângulos opostos somam 180^\circ, logo MNPQ é cíclico.

Passo 5

(Prova de concorrência em U)
Sejam X=AB\cap CD (linhas estendidas). Vamos mostrar que X fica sobre NQ. Note que:
1. N\in T_C\cap T_B é a interseção das bissetrizes de \angle B e \angle C.
2. Q\in T_D\cap T_A é a interseção das bissetrizes de \angle D e \angle A.
No ponto X, as retas XB e XC formam o ângulo suplementar de \angle B\!+\!\angle C. Como N está na bissetriz interna de \angle B\!+\!\angle C, temos que XN divide ao meio esse ângulo em X. Analogamente, Q está na bissetriz de \angle D\!+\!\angle A, e em X as retas XD e XA formam exatamente o ângulo suplementar de \angle D\!+\!\angle A. Logo XQ é bissetriz desse ângulo. Mas \angle B+\angle C+\angle D+\angle A=360^\circ implica que \angle(B+C) suplementar = \angle(D+A) suplementar. Assim, em X, a bissetriz de \angle B+C e a bissetriz de \angle D+A coincidem: ambas são a reta NQ. Portanto NQ passa por X. Assim AB, CD e NQ concurs em U=X.

Passo 6

(Prova de concorrência em V)
O mesmo raciocínio vale para as retas AD, BC e a reta que conecta os pontos de interseção das bissetrizes de \angle A,\angle B (que é M) e das de \angle C,\angle D (que é P). Sejam Y=AD\cap BC. Então em Y as retas formam ângulos suplementares de \angle A+\angle D e de \angle B+\angle C. A bissetriz interna de cada um desses pares de ângulos em Y é justamente a reta MP. Logo MP também passa por Y. Portanto AD, BC e MP concorrem em V=Y.

Resposta

1) MNPQ é cíclico.
2) As retas AB, CD e NQ concorrem em U=AB\cap CD, e as retas AD, BC e MP concorrem em V=AD\cap BC.

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