(IME-88/89) Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D, situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC; nestes triângulos \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{a} e \mathrm{AD}=\mathrm{CD}. a) Calcule a diagonal BD , do quadrilátero ABCD ; b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD . Calcule BE e ED ; c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF.

Passo 1

O enunciado descreve um quadrilátero ABCD formado por dois triângulos retângulos isósceles que compartilham o lado AC. No triângulo ABC temos
AB = AC = a
e o ângulo reto em A.
No triângulo ACD os catetos são AD e CD (logo \angle ADC = 90^\circ) e o segmento AC é a hipotenusa. Como AC é comum e vale a, segue que
AD = CD = \frac{a}{\sqrt2}.
Para simplificar, vamos colocar coordenadas:
A=(0,0),\quad C=(a,0),\quad B=(0,a),\quad D=\bigl(\tfrac a2,\,-\tfrac a2\bigr).

Passo 2

Calcular a diagonal BD.
BD = \sqrt{\Bigl(\tfrac a2 - 0\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac a2 - a\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \Bigl(-\tfrac{3a}{2}\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{4}} = \frac{a}{2}\sqrt{10}.

Passo 3

Seja E a interseção de BD com AC. Como AC está no eixo x (isto é, y=0), parametrize
P(t)=B + t\,(D-B) = \bigl(0,a\bigr) + t\Bigl(\tfrac a2,\,-\tfrac{3a}{2}\Bigr).
Para achar E basta resolver y(t)=0:
a - \frac{3a}{2}\,t = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2}{3}.
Então
E = \Bigl(\tfrac a2\cdot\tfrac23,\;0\Bigr) = \Bigl(\tfrac a3,\,0\Bigr).
Agora
BE = \sqrt{\Bigl(\tfrac a3-0\Bigr)^2 + (0 - a)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} + a^2} = \frac{a}{3}\sqrt{10},
ED = \sqrt{\Bigl(\tfrac a2-\tfrac a3\Bigr)^2 + \Bigl(-\tfrac a2-0\Bigr)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{36} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{6}\sqrt{10}.

Passo 4

Seja F a interseção de BD com a circunferência de diâmetro BC. O centro dessa circunferência é
M=\Bigl(\tfrac{0+a}2,\;\tfrac{a+0}2\Bigr) = \bigl(\tfrac a2,\tfrac a2\bigr),
com raio \tfrac{BC}{2} = \tfrac{a\sqrt2}{2}.
Usamos de novo o parâmetro P(t). Impondo
\bigl\|P(t)-M\bigr\|^2 = \Bigl(\tfrac{a\sqrt2}{2}\Bigr)^2 = \frac{a^2}{2}
leva à equação 5t^2-4t=0, com soluções t=0 (ponto B) e t=\tfrac45. Logo F=P\bigl(\tfrac45\bigr).
Como t=1 corresponde a D, a distância de D a F vale
DF = \bigl|1 - \tfrac45\bigr|\;BD = \frac15\,BD = \frac15\cdot\frac{a\sqrt{10}}{2} = \frac{a\sqrt{10}}{10}.
E a de E a F (com t_E = \tfrac23, t_F=\tfrac45) vale
EF = \Bigl(\tfrac45-\tfrac23\Bigr)\,BD = \frac{2}{15}\,\frac{a\sqrt{10}}{2} = \frac{a\sqrt{10}}{15}.

Resposta

a) \displaystyle BD = \frac{a}{2}\sqrt{10}.
b) \displaystyle BE = \frac{a}{3}\sqrt{10},\quad ED = \frac{a}{6}\sqrt{10}.
c) \displaystyle DF = \frac{a}{10}\sqrt{10},\quad EF = \frac{a}{15}\sqrt{10}.

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