(IME-88/89) Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D, situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC; nestes triângulos \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=\mathrm{a} e \mathrm{AD}=\mathrm{CD}. a) Calcule a diagonal BD , do quadrilátero ABCD ; b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD . Calcule BE e ED ; c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF.
Passo 1
O enunciado descreve um quadrilátero ABCD formado por dois triângulos retângulos isósceles que compartilham o lado AC. No triângulo ABC temos
AB = AC = a
e o ângulo reto em A.
No triângulo ACD os catetos são AD e CD (logo \angle ADC = 90^\circ) e o segmento AC é a hipotenusa. Como AC é comum e vale a, segue que
E a de E a F (com t_E = \tfrac23, t_F=\tfrac45) vale
EF = \Bigl(\tfrac45-\tfrac23\Bigr)\,BD = \frac{2}{15}\,\frac{a\sqrt{10}}{2} = \frac{a\sqrt{10}}{15}.
Resposta
a) \displaystyle BD = \frac{a}{2}\sqrt{10}.
b) \displaystyle BE = \frac{a}{3}\sqrt{10},\quad ED = \frac{a}{6}\sqrt{10}.
c) \displaystyle DF = \frac{a}{10}\sqrt{10},\quad EF = \frac{a}{15}\sqrt{10}.
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 2 - 3ª Edição - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 16