(UF-PR) Considere as afirmativas abaixo a respeito das funções f(x)=x^2-2 x-3 e g(x)=12 x-1, com x in R:
  1. A função f(x)+g(x) tem exatamente três zeros.
  2. A função f(x)+g(x) é crescente no intervalo fechado [2,5].
  3. A função g(x)-f(x) é positiva no intervalo aberto (0,3).
  4. Quando x=0 tem-se (f circ g)(x)=(g circ f)(x).
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x^2-2x-3, g(x)=tfrac12x-1,
e pede para analisar quatro afirmativas sobre:
– os zeros de f+g,
– o crescimento de f+g em [2,5],
– o sinal de g-f em (0,3),
– a igualdade (fcirc g)(0)=(gcirc f)(0).

Passo 2

Analisando a afirmativa 1: “ f+g tem exatamente três zeros.”
Definimos
h(x)=f(x)+g(x)=x^2-2x-3+tfrac12x-1 =x^2-tfrac32x-4
Para achar os zeros, resolvemos
x^2-tfrac32x-4=0
O discriminante é
De<a=l(-tfrac32r)^2+4cdot1cdot4 =tfrac94+16=tfrac734>0,
logo há exatamente duas raízes reais. Portanto a afirmativa 1 é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa 2: “ f+g é crescente em [2,5].”
A derivada de h é
h'(x)=2x-tfrac32
Em [2,5] temos x>=2, logo
h'(x)>=2cdot2-tfrac32=4-tfrac32=tfrac52>0
Como h'(x)>0 em todo o intervalo, h é estritamente crescente em [2,5]. A afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa 3: “ g(x)-f(x) é positiva em (0,3).”
Definimos
p(x)=g(x)-f(x) =l(tfrac12x-1r)-l(x^2-2x-3r) =-x^2+tfrac52x+2
Resolvendo p(x)=0 temos
-x^2+tfrac52x+2=0 ;Long<=ftrightarrow; x^2-tfrac52x-2=0,
cujo discriminante é tfrac254+8=tfrac574, gerando raízes em aproximadamente -0,64 e 3,14. Como o coeficiente de x^2 em p(x) é negativo, p(x)>0 para
-0,64 < x < 3,14
Nesse intervalo está todo (0,3), então p(x)>0 em (0,3). A afirmativa 3 é verdadeira.

Passo 5

Analisando a afirmativa 4: “Quando x=0 tem-se (fcirc g)(x)=(gcirc f)(x).”
Calculamos
g(0)=tfrac12cdot0-1=-1, f(g(0))=f(-1)=(-1)^2-2(-1)-3=1+2-3=0
Por outro lado
f(0)=0^2-2cdot0-3=-3, g(f(0))=g(-3)=tfrac12(-3)-1=-tfrac32-1=-tfrac52neq0
Logo (fcirc g)(0)ne(gcirc f)(0) e a afirmativa 4 é falsa.

Resposta

c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

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