(UF-PR) Considere as afirmativas abaixo a respeito das funções
e
- A função
tem exatamente três zeros.
- A função
é crescente no intervalo fechado
.
- A função
é positiva no intervalo aberto
.
- Quando
tem-se
.
Assinale a alternativa correta:
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá
e pede para analisar quatro afirmativas sobre:
– os zeros de ,
– o crescimento de em
,
– o sinal de em
,
– a igualdade .
– os zeros de
– o crescimento de
– o sinal de
– a igualdade
Passo 2
Analisando a afirmativa 1: “
tem exatamente três zeros.”
Definimos
Definimos
Para achar os zeros, resolvemos
O discriminante é
logo há exatamente duas raízes reais. Portanto a afirmativa 1 é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa 2: “
é crescente em
.”
A derivada de é
A derivada de
Em
temos
, logo
Como
em todo o intervalo,
é estritamente crescente em
. A afirmativa 2 é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa 3: “
é positiva em
.”
Definimos
Definimos
Resolvendo
temos
cujo discriminante é
, gerando raízes em aproximadamente
e
. Como o coeficiente de
em
é negativo,
para
Nesse intervalo está todo
, então
em
. A afirmativa 3 é verdadeira.
Passo 5
Analisando a afirmativa 4: “Quando
tem-se
.”
Calculamos
Calculamos
Por outro lado
Logo
e a afirmativa 4 é falsa.
Resposta
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.