c) Para quais valores reais de x temos f(f(f(f(x))))=2011 ?
324. (PUC-MG) Considere as funções f(x)=1-x1+x e g(x)=1f[f(x)], definidas para x neq-1. Assim, o valor de g(0,5) é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5

Passo 1

O enunciado traz a função
f(x)=1-x1+x
definida em xneq -1, e pede em (c) para resolver
fl(fl(fl(f(x)r)r)r)=2011
em valores reais de x. Em seguida, define
g(x)=1fl(f(x)r)
e pergunta o valor de g(0,5) entre as opções 2,3,4,5. Para isso vamos usar composição de funções e explorar a propriedade involutiva de f.

Passo 2

Vamos calcular f(f(x)). Se y=f(x)=1-x1+x, então
1-y=(1+x)-(1-x)1+x=2x1+x, 1+y=(1+x)+(1-x)1+x=21+x
Logo
fl(f(x)r)=1-y1+y =2x1+x21+x =x
Isto mostra que f é involutiva, ou seja, f(f(x))=x.

Passo 3

A composição de quatro cópias de f é
fl(f(f(f(x)))r) =fl(f(x)r) =x
Para satisfazer
fl(f(f(f(x)))r)=2011
precisamos de
x=2011,
respeitando xneq -1, o que está OK.

Passo 4

Pela definição de g, temos
g(x)=1fl(f(x)r)=1x,
novamente para xneq -1 e xneq 0.

Passo 5

Aplicando x=0,5 em g(x)=1/x obtemos
g(0,5)=10,5=2

Resposta

c) x=2011.
324. g(0,5)=2.

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