Considere o conjunto A=y in Z tal que |y|<4. Responda:
a) Qual o número de equações do tipo x^2+2 m x+n=0, com m in A e n in A ?
b) Dentre as equações obtidas no item a, quantas têm raízes reais e distintas?
c) Dentre as equações com raízes reais e distintas, quantas têm raízes positivas?

Passo 1

O enunciado define
A = y in Z mid |y|<4
logo
A = -3,-2,-1,0,1,2,3
Queremos contar equações da forma
x^2 + 2,m,x + n = 0
com m,nin A. Em seguida, usar o discriminante para saber quantas têm raízes reais e distintas, e por fim examinar soma e produto das raízes para contar quantas delas são ambas positivas.

Passo 2

Como |A|=7, o número total de pares (m,n) em Atimes A é
7 times 7 = 49

Passo 3

Para uma equação x^2+2mx+n=0, o discriminante é
De<a = (2m)^2 - 4cdot1cdot n = 4,(m^2-n)
Temos raízes reais e distintas se De<a>0, isto é
m^2-n>0Long<=ftrightarrow n < m^2
Para cada min A contamos quantos nin A satisfazem n<m^2:
  • m=-3 ou m=3: m^2=9, todos os 7 valores de n em A são menores que 9.
  • m=-2 ou m=2: m^2=4, todos os 7 valores de n em A são menores que 4.
  • m=-1 ou m=1: m^2=1, valem nin-3,-2,-1,0, total de 4.
  • m=0: m^2=0, valem nin-3,-2,-1, total de 3.
    Somando:
7+7+4+3+4+7+7 = 39

Passo 4

Para ter raízes reais, distintas _e_ positivas precisamos além de De<a>0:
1. Soma das raízes = -2m1 = -2m>0, isto é m<0.
2. Produto das raízes = n>0.
E ainda n<m^2.
Analisando min-3,-2,-1:
  • m=-3: m^2=9. Precisamos de nin Acap1,2,3, todos satisfazem n<9. Isso dá 3 casos.
  • m=-2: m^2=4. Precisamos de nin1,2,3, todos válidos. Mais 3 casos.
  • m=-1: m^2=1. Precisamos de n>0 e n<1: não há n inteiro positivo menor que 1. 0 casos.
    Total de casos com raízes reais, distintas e positivas:
3 + 3 + 0 = 6

Resposta

a) 49
b) 39
c) 6

Exercícios de Livros Relacionados