Considere o conjunto
tal que
. Responda:
a) Qual o número de equações do tipo
, com
e
?
b) Dentre as equações obtidas no item
, quantas têm raízes reais e distintas?
c) Dentre as equações com raízes reais e distintas, quantas têm raízes positivas?
a) Qual o número de equações do tipo
b) Dentre as equações obtidas no item
c) Dentre as equações com raízes reais e distintas, quantas têm raízes positivas?
Passo 1
O enunciado define
logo
Queremos contar equações da forma
com
. Em seguida, usar o discriminante para saber quantas têm raízes reais e distintas, e por fim examinar soma e produto das raízes para contar quantas delas são ambas positivas.
Passo 2
Como
, o número total de pares
em
é
Passo 3
Para uma equação
, o discriminante é
Temos raízes reais e distintas se
, isto é
Para cada
contamos quantos
satisfazem
:
-
ou : , todos os valores de em são menores que . -
ou : , todos os valores de em são menores que . -
ou : , valem , total de . -
: , valem , total de .
Somando:
Passo 4
Para ter raízes reais, distintas _e_ positivas precisamos além de
:
. Soma das raízes
, isto é
.
. Produto das raízes
.
E ainda .
Analisando :
E ainda
Analisando
-
: . Precisamos de , todos satisfazem . Isso dá casos. -
: . Precisamos de , todos válidos. Mais casos. -
: . Precisamos de e : não há inteiro positivo menor que . casos.
Total de casos com raízes reais, distintas e positivas:
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)