4.2.5 Considere que a equação de elemento geral de \operatorname{SU}(2), Equação (4.38), seja composta de três rotações de Euler: (i) uma rotação de a / 2 ao redor do eixo z, (ii) uma rotação de b / 2 ao redor do novo eixo x, e (iii) uma rotação de c / 2 ao redor do novo eixo z. (Todas as rotações são em sentido anti-horário.) Usando os geradores \sigma de Pauli, mostre que esses ângulos de rotação são determinados por
\begin{array}{ll} a=\xi-\zeta+\frac{\pi}{2} & =\alpha+\frac{\pi}{2} \\\ b=2 \eta & =\beta \\\ c=\xi+\zeta-\frac{\pi}{2} & =\gamma-\frac{\pi}{2} \end{array}
Nota: Aqui, os ângulos a e b não são o a e b da Equação (4.38).

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, se o elemento genérico de SU( 2) na forma de Euler
U(\xi,\eta,\zeta) \;=\; e^{-\tfrac{i}{2}\xi\,\sigma_z}\, e^{-\tfrac{i}{2}\,2\eta\,\sigma_x}\, e^{-\tfrac{i}{2}\zeta\,\sigma_z} \tag{4.38}
for reescrito como produto de três rotações em torno de z,\;x,\;z de meios-ângulos a/2,\;b/2,\;c/2,
isto é
U \;=\; R_z\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)\, R_x\Bigl(\tfrac{b}{2}\Bigr)\, R_z\Bigl(\tfrac{c}{2}\Bigr) \;=\; e^{-\tfrac{i}{2}\,\tfrac{a}{2}\,\sigma_z}\, e^{-\tfrac{i}{2}\,\tfrac{b}{2}\,\sigma_x}\, e^{-\tfrac{i}{2}\,\tfrac{c}{2}\,\sigma_z}
então os novos ângulos a,b,c satisfazem
a=\xi-\zeta+\frac\pi2, \quad b=2\,\eta, \quad c=\xi+\zeta-\frac\pi2.
Para isso vamos (i) escrever a matriz de U(\xi,\eta,\zeta) em componentes, (ii) escrever as três rotações em matriz 2\times2 via pauli, (iii) multiplicar e (iv) igualar termo a termo para extrair a,b,c.

Passo 2

A forma matricial da Equação ( 4.38) é (veja que o eixo x recebe ângulo total 2\eta, de modo que o meio-ângulo central é \eta)
U(\xi,\eta,\zeta) =\begin{pmatrix} \cos\eta\,e^{-\tfrac{i}{2}(\xi+\zeta)} & -\,\sin\eta\,e^{-\tfrac{i}{2}(\xi-\zeta)} \\[6pt] \sin\eta\,e^{\tfrac{i}{2}(\xi-\zeta)} & \cos\eta\,e^{\tfrac{i}{2}(\xi+\zeta)} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Cada rotação em SU( 2) é dada por
R_z\Bigl(\tfrac{\alpha}{2}\Bigr) = e^{-\tfrac{i}{2}\,\tfrac\alpha2\,\sigma_z} = \begin{pmatrix} e^{-\,\tfrac{i\alpha}{4}}&0\\[3pt]0& e^{\,\tfrac{i\alpha}{4}} \end{pmatrix}, \quad R_x\Bigl(\tfrac{\beta}{2}\Bigr) = e^{-\tfrac{i}{2}\,\tfrac\beta2\,\sigma_x} = \cos\!\tfrac\beta4\;I \;-\;i\,\sin\!\tfrac\beta4\;\sigma_x = \begin{pmatrix} \cos\tfrac\beta4 & -\,i\sin\tfrac\beta4\\[3pt] -\,i\sin\tfrac\beta4 & \cos\tfrac\beta4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Multiplicando
R_z\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)\, R_x\Bigl(\tfrac{b}{2}\Bigr)\, R_z\Bigl(\tfrac{c}{2}\Bigr)
obtemos a matriz
\begin{pmatrix} \cos\tfrac b4\;e^{-\tfrac{i}{4}(a+c)} & -\,i\,\sin\tfrac b4\;e^{-\tfrac{i}{4}(a-c)} \\[6pt] -\,i\,\sin\tfrac b4\;e^{\tfrac{i}{4}(a-c)} & \cos\tfrac b4\;e^{\tfrac{i}{4}(a+c)} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora igualamos componente a componente com U(\xi,\eta,\zeta):
1) Módulos:
\cos\eta=\cos\tfrac b4, \quad \sin\eta=\sin\tfrac b4 \;\Longrightarrow\; \tfrac b4=\eta \;\Longrightarrow\; b=2\,\eta.
2) Fases dos elementos diagonais:
-\tfrac{\xi+\zeta}{2} \;=\; -\tfrac{a+c}{4} \;\bmod2\pi \quad\Longrightarrow\quad a+c=2(\xi+\zeta).
3) Fases dos elementos fora-diagonal:
-\tfrac{\xi-\zeta}{2} \;=\; -\tfrac{a-c}{4} +\tfrac\pi2 \;\bmod2\pi \quad\Longrightarrow\quad a-c=2(\xi-\zeta)-2\pi.
Desprezando múltiplos inteiros de 2\pi e resolvendo o sistema
\{a+c=2(\xi+\zeta),\;a-c=2(\xi-\zeta)-2\pi\}, achamos
a=\xi-\zeta+\frac\pi2, \qquad c=\xi+\zeta-\frac\pi2.

Resposta

a = \xi-\zeta+\dfrac\pi2,
b = 2\,\eta,
c = \xi+\zeta-\dfrac\pi2.

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