4.2.4 Um operador de translação
converte
a
,
Em termos do operador de momento linear (mecânica quântica),
, mostre que
, isto é,
é o gerador de translações.
Sugestão: Expanda
como uma série de Taylor.
Sugestão: Expanda
Passo 1
O enunciado nos dá o operador de translação
que age em uma função de onda
deslocando seu argumento em
:
Queremos mostrar que esse operador pode ser escrito em termos do operador de momento linear
, como
O conteúdo envolvido é o papel de gerador de simetrias em mecânica quântica, usando expansão de Taylor.
Passo 2
Começamos expandindo
em série de Taylor em torno de
:
Passo 3
Note que cada derivada de ordem
pode ser vista como
então a soma fica
Passo 4
Como o operador de momento é
, temos
e, consequentemente,
Passo 5
Pela definição de exponencial de operador,
que ao atuar em
reproduz exatamente a expansão de Taylor de
. Logo
Resposta
isto é,
é o gerador de translações.