4.2.4 Um operador de translação T(a) converte \psi(x) a \psi(x+a),
T(a) \psi(x)=\psi(x+a)
Em termos do operador de momento linear (mecânica quântica), p_{x}=-i d / d x, mostre que T(a)=\exp \left(i a p_{x}\right), isto é, p_{x} é o gerador de translações.
Sugestão: Expanda \psi(x+a) como uma série de Taylor.

Passo 1

O enunciado nos dá o operador de translação T(a) que age em uma função de onda \psi(x) deslocando seu argumento em a:
T(a)\,\psi(x)=\psi(x+a).
Queremos mostrar que esse operador pode ser escrito em termos do operador de momento linear \,p_x=-i\frac{d}{dx}, como
T(a)=\exp\bigl(i\,a\,p_x\bigr).
O conteúdo envolvido é o papel de gerador de simetrias em mecânica quântica, usando expansão de Taylor.

Passo 2

Começamos expandindo \psi(x+a) em série de Taylor em torno de x:
\psi(x+a) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}\,\frac{d^n}{dx^n}\,\psi(x).

Passo 3

Note que cada derivada de ordem n pode ser vista como
\frac{d^n}{dx^n}\,\psi(x) =\Bigl(\frac{d}{dx}\Bigr)^n\psi(x),
então a soma fica
\psi(x+a) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,\bigl(a\,\tfrac{d}{dx}\bigr)^n\psi(x).

Passo 4

Como o operador de momento é \,p_x=-i\frac{d}{dx}, temos
i\,a\,p_x =i\,a\Bigl(-i\frac{d}{dx}\Bigr) = a\,\frac{d}{dx},
e, consequentemente,
\bigl(i\,a\,p_x\bigr)^n =\bigl(a\,\tfrac{d}{dx}\bigr)^n.

Passo 5

Pela definição de exponencial de operador,
\exp\bigl(i\,a\,p_x\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,\bigl(i\,a\,p_x\bigr)^n,
que ao atuar em \psi(x) reproduz exatamente a expansão de Taylor de \psi(x+a). Logo
\exp\bigl(i\,a\,p_x\bigr)\,\psi(x) =\psi(x+a) =T(a)\,\psi(x).

Resposta

T(a)=\exp\bigl(i\,a\,p_x\bigr),
isto é, \,p_x é o gerador de translações.

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