4.2.3 Determine três subgrupos SU(2) de SU(3).

Passo 1

O enunciado pede para achar três subgrupos isomorfos a SU(2) dentro de SU(3). Vamos usar que
  1. SU(n) é o grupo das matrizes ntimes n unitárias de determinante 1.
  2. Qualquer matriz de SU(2) tem a forma
a & b -bar b & bar a , a,bin C,;|a|^2+|b|^2=1
Para obter subgrupos, basta “colar” esse bloco 2times2 dentro de uma matriz 3times3 e completar com 1 na direção que sobra.

Passo 2

Embed no canto superior esquerdo (fixando a terceira direção). Definimos
H12 = a & b & 0 -bar b & bar a & 0 0 & 0 & 1 ;midd<=|; a,bin C,;|a|^2+|b|^2=1
Cada elemento é unitário e det=1, logo H12congSU(2).

Passo 3

Embed no canto inferior direito (fixando a primeira direção). Definimos
H23 = 1 & 0 & 0 0 & a & b 0 & -bar b & bar a ;midd<=|; a,bin C,;|a|^2+|b|^2=1
Também é um subgrupo de SU(3) isomorfo a SU(2).

Passo 4

Embed nas direções 1 e 3 (fixando a segunda direção). Definimos
H13 = a & 0 & b 0 & 1 & 0 -bar b & 0 & bar a ;midd<=|; a,bin C,;|a|^2+|b|^2=1
Isso fecha produto, inverso e tem determinante 1, daí H13congSU(2).

Resposta

Os três subgrupos SU(2)subsetSU(3) são
H12 = a & b & 0 -bar b & bar a & 0 0 & 0 & 1 , H23 = 1 & 0 & 0 0 & a & b 0 & -bar b & bar a , H13 = a & 0 & b 0 & 1 & 0 -bar b & 0 & bar a ,
com a,bin C e |a|^2+|b|^2=1. Cada um é isomorfo a SU(2).

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