4.2.3 Determine três subgrupos
de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar três subgrupos isomorfos a
dentro de
. Vamos usar que
-
é o grupo das matrizes unitárias de determinante 1. - Qualquer matriz de
tem a forma
Para obter subgrupos, basta “colar” esse bloco
dentro de uma matriz
e completar com 1 na direção que sobra.
Passo 2
Embed no canto superior esquerdo (fixando a terceira direção). Definimos
Cada elemento é unitário e
, logo
.
Passo 3
Embed no canto inferior direito (fixando a primeira direção). Definimos
Também é um subgrupo de
isomorfo a
.
Passo 4
Embed nas direções 1 e 3 (fixando a segunda direção). Definimos
Isso fecha produto, inverso e tem determinante 1, daí
.
Resposta
Os três subgrupos
são
com
e
. Cada um é isomorfo a
.