4.2.3 Determine três subgrupos \mathrm{SU}(2) de \mathrm{SU}(3).

Passo 1

O enunciado pede para achar três subgrupos isomorfos a \mathrm{SU}(2) dentro de \mathrm{SU}(3). Vamos usar que
  1. \mathrm{SU}(n) é o grupo das matrizes n\times n unitárias de determinante 1.
  2. Qualquer matriz de \mathrm{SU}(2) tem a forma
\begin{pmatrix} a & b\\\\ -\bar b & \bar a \end{pmatrix}, \quad a,b\in\mathbb C,\;|a|^2+|b|^2=1.
Para obter subgrupos, basta “colar” esse bloco 2\times2 dentro de uma matriz 3\times3 e completar com 1 na direção que sobra.

Passo 2

Embed no canto superior esquerdo (fixando a terceira direção). Definimos
H_{12} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b & 0\\\\ -\bar b & \bar a & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb C,\;|a|^2+|b|^2=1 \right\}.
Cada elemento é unitário e \det=1, logo H_{12}\cong\mathrm{SU}(2).

Passo 3

Embed no canto inferior direito (fixando a primeira direção). Definimos
H_{23} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & a & b\\\\ 0 & -\bar b & \bar a \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb C,\;|a|^2+|b|^2=1 \right\}.
Também é um subgrupo de \mathrm{SU}(3) isomorfo a \mathrm{SU}(2).

Passo 4

Embed nas direções 1 e 3 (fixando a segunda direção). Definimos
H_{13} = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 & b\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -\bar b & 0 & \bar a \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b\in\mathbb C,\;|a|^2+|b|^2=1 \right\}.
Isso fecha produto, inverso e tem determinante 1, daí H_{13}\cong\mathrm{SU}(2).

Resposta

Os três subgrupos \mathrm{SU}(2)\subset\mathrm{SU}(3) são
H_{12} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b & 0\\\\ -\bar b & \bar a & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}, \quad H_{23} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & a & b\\\\ 0 & -\bar b & \bar a \end{pmatrix} \right\}, \quad H_{13} = \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 & b\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ -\bar b & 0 & \bar a \end{pmatrix} \right\},
com a,b\in\mathbb C e |a|^2+|b|^2=1. Cada um é isomorfo a \mathrm{SU}(2).

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