4.2.3 Determine três subgrupos
de
.
Passo 1
O enunciado pede para achar três subgrupos isomorfos a
dentro de
. Vamos usar que
-
é o grupo das matrizes unitárias de determinante 1. - Qualquer matriz de
tem a forma
Para obter subgrupos, basta “colar” esse bloco
2times2 dentro de uma matriz
3times3 e completar com 1 na direção que sobra.
Passo 2
Embed no canto superior esquerdo (fixando a terceira direção). Definimos
Cada elemento é unitário e
det=1 , logo
H12congSU(2) .
Passo 3
Embed no canto inferior direito (fixando a primeira direção). Definimos
Também é um subgrupo de
SU(3) isomorfo a
SU(2) .
Passo 4
Embed nas direções 1 e 3 (fixando a segunda direção). Definimos
Isso fecha produto, inverso e tem determinante 1, daí
H13congSU(2) .
Resposta
Os três subgrupos
SU(2)subsetSU(3) são
com
a,bin C e
|a|^2+|b|^2=1 . Cada um é isomorfo a
SU(2) .